Theorem 10.2The dag-coloring algori

Theorem 10.2

The dag-coloring algorithm produces a correct coloring.
Proof (by induction): Any dag has at least one node with no outgoing edges—call such a node a leaf. According to the program, the leaf nodes do not execute actions since they have no successors. So their colors are stable. This is the base case.
After every node j ∈ succ(i) attains a stable color, it requires at most one more step for c(i) to become stable, and such a color can always be found since the set {Csc(i)} is nonempty. Thus, the nodes at distance one from a leaf node acquire a stable color in at most one step, those at distance 2 attain a stable color in at most (1 + 2) steps, and so on. Eventually, all nodes are colored in at most 1 + 2 + 3 + ⋯ + L = L(L + 1)/2 steps where L is the length of the longest directed path in the dag. ◾

Since L ≤ n – 1, the dag-generation algorithm will terminate in O(n2) steps. To use this method for coloring undirected graphs, we need to devise a method for converting an undirected graph into a dag. A straightforward approach is to construct a BFS spanning tree and direct each edge toward a node of higher level, but the outdegree of some nodes (and consequently the size of the color palette) may still be large. In some cases, we can do much better. The next section addresses this issue with an example.

Результаты (русский) 1:

Теорема 10.2Даг окраски алгоритм производит правильную окраску.Доказательство (по индукции): любой группы доступности базы данных имеет хотя бы один узел без исходящих краев — вызвать такой узел лист. Согласно программе конечные узлы не выполняются действия, поскольку у них нет последователей. Поэтому их цвета являются стабильными. Это базовый случай.После того, как каждый узел j ∈ succ(i) достигает стабильного цвета, она требует более еще один шаг для c(i) стать стабильным, и такой цвет всегда можно найти, так как набор {Csc(i)} непустой. Таким образом узлы на одном расстоянии от конечного узла получить стабильный цвет максимум один шаг, те, на расстоянии 2 достичь стабильного цвета в максимум (1 + 2) шаги и так далее. В конце концов, все узлы окрашены в более 1 + 2 + 3 + ⋯ + L = L(L + 1)/2 шагов, где L — длина длинного направленного пути в группе доступности базы данных. ◾С L ≤ n-1, алгоритм создания группы доступности базы данных будет прекращен в O(n2) шагов. Чтобы использовать этот метод для окраски неориентированных графов, нам необходимо разработать метод для преобразования неориентированного графа в группу доступности базы данных. Прямолинейный подход построить BFS остовного дерева и направить каждого края к узлу более высокого уровня, но outdegree некоторых узлов (и, следовательно, размер цветовой палитры) может быть большим. В некоторых случаях мы можем сделать гораздо лучше. Следующий раздел рассматривает этот вопрос с примером.

Результаты (русский) 2:

Теорема 10.2

Алгоритм даг-раскраска производит правильную окраску.
Доказательство (по индукции): Любой даг имеет , по меньшей мере , один узел без каких - либо исходящих ребер-называть такой узел листом. В соответствии с программой, узлы листа не выполнять действия , так как они не имеют наследников. Таким образом , их цвета стабильны. Это базовый случай.
После того, как каждый узел J ∈ Succ (I) достигает стабильного цвета, она требует не более чем еще один шаг для C (I) , чтобы стать стабильным, и такой цвет всегда можно найти , так как множество {C SC (я)} не пусто. Таким образом, узлы на расстоянии друг от листового узла приобретают устойчивый цвет не более чем в один шаг, те , находящихся на расстоянии 2 достигают стабильного цвета в более чем (1 + 2) шагов, и так далее. В конце концов, все узлы окрашены не более чем в 1 + 2 + 3 + ⋯ + L = L (L + 1) / 2 шагов , где L длина самого длинного направленного пути в DAG. ◾

Так как L ≤ N - 1, алгоритм даг поколения завершится в O (n2) шагов. Чтобы использовать этот метод для окрашивания неориентированные графы, нам необходимо разработать метод для преобразования неориентированный граф в DAG. Прямолинейный подход состоит в построении остовного дерева BFS и направить каждое ребро к узлу более высокого уровня, но полустепень некоторых узлов (и , следовательно , размер цветовой палитры) по- прежнему может быть большим. В некоторых случаях мы можем сделать гораздо лучше. В следующем разделе решает эту проблему с примером.

Результаты (русский) 3:

теорема 10.2библиотека - алгоритм производит текста колорит.доказательства (начальной): любой библиотеки по меньшей мере один узел без уходящего края называют такой узел лист.согласно программе, лист узлов не выполнять действия, поскольку у них нет наследников.так что их цвета стабильны.это базовый вариант.после каждого узла J ∈ 8 (i) получает стабильный цвет, он нуждается в большинстве еще один шаг к C (я), чтобы стать стабильным, и такой цвет всегда можно найти, поскольку система {} - это nonempty кбк (я).таким образом, узлы на расстоянии одного из листьев узел приобретать стабильной цвет максимум на один шаг, на расстоянии 2 достижения стабильного цвет в большинстве (1 + 2) меры, и так далее.в итоге, все узлы окрашиваются в максимум 1 + 2 + 3 + ⋯ + 1 = 1 (1 + 1) / 2 шага, где L - длина самой длинной в путь в библиотеке.◾с тех пор, как я ≤ n. 1, библиотека алгоритм генерирования истекает в O (N2) шагов.использовать этот метод для раскрашивания ненаправлена графики, нам необходимо разработать метод для преобразования ненаправлена график в библиотеке.прямой подход состоит в том, чтобы построить bfs остовное дерево и прямой друг к краю узел высшего уровня, но outdegree некоторых узлов (и, следовательно, размер цветовой палитры) все еще может быть большой.в некоторых случаях, мы можем сделать лучше.в следующем разделе этот вопрос рассматривается на примере.