The use of geometrical signs as a m

The use of geometrical signs as a means of strict proof presupposes the exact knowledge and complete mastery of the axioms which underlie those figures; and in order that these geometrical figures may be incorporated in the general treasure of mathematical signs, there is necessary a rigorous axiomatic investigation of their conceptual content. Just as in adding two numbers, one must place the digits under each other in the right order, so that only the rules of calculation, i. e., the axioms of arithmetic, determine the correct use of the digits, so the use of geometrical signs is determined by the axioms of geometrical concepts and their combinations.
The agreement between geometrical and arithmetical thought is shown also in that we do not habitually follow the chain of reasoning back to the axioms in arithmetical, any more than in geometrical discussions. On the contrary we apply, especially in first attacking a problem, a rapid, unconscious, not absolutely sure combination, trusting to a certain arithmetical feeling for the behavior of the arithmetical symbols, which we could dispense with as little in arithmetic as with the geometrical imagination in geometry. As an example of an arithmetical theory operating rigorously with geometrical ideas and signs, I may mention Minkowski's work, Die Geometrie der Zahlen.2
Some remarks upon the difficulties which mathematical problems may offer, and the means of surmounting them, may be in place here.
If we do not succeed in solving a mathematical problem, the reason frequently consists in our failure to recognize the more general standpoint from which the problem before us appears only as a single link in a chain of related problems. After finding this standpoint, not only is this problem frequently more accessible to our investigation, but at the same time we come into possession of a method which is applicable also to related problems. The introduction of complex paths of integration by Cauchy and of the notion of the IDEALS in number theory by Kummer may serve as examples. This way for finding general methods is certainly the most practicable and the most certain; for he who seeks for methods without having a definite problem in mind seeks for the most part in vain.
In dealing with mathematical problems, specialization plays, as I believe, a still more important part than generalization. Perhaps in most cases where we seek in vain the answer to a question, the cause of the failure lies in the fact that problems simpler and easier than the one in hand have been either not at all or incompletely solved. All depends, then, on finding out these easier problems, and on solving them by means of devices as perfect as possible and of concepts capable of generalization. This rule is one of the most important levers for overcoming mathematical difficulties and it seems to me that it is used almost always, though perhaps unconsciously.

Результаты (русский) 1:

Использование геометрических знаков как средство строгих доказательств предполагает точное знание и полное господство аксиом, которые лежат в основе этих фигур; и чтобы эти геометрические фигуры могут быть включены в общее сокровище математических знаков, необходимо тщательное аксиоматического расследование их концептуального содержания. Как и в добавлении двух чисел, одно необходимо поместить цифры друг под другом в правильном порядке, так что только правила расчета, т. е., аксиомах арифметики, определить правильное использование цифр, поэтому использование геометрических знаков определяется аксиом геометрических понятий и их комбинаций.Соглашение между геометрической и арифметической мысли показано также в том, что мы обычно не следуют цепи рассуждений к аксиом в арифметическом, больше чем в геометрической дискуссии. Напротив мы применяем, особенно в первой атаке проблемы, быстро, в бессознательном состоянии, не совсем уверен комбинация, доверяя арифметическую чувство поведения арифметические символы, которые мы могли бы обойтись лишь в арифметике с геометрическим воображение в геометрии. В качестве примера арифметической теории работает строго с геометрическими идеями и признаки назову работы Минковского, Die Geometrie дер Zahlen.2Некоторые замечания на трудности, какие математические проблемы могут предложить и средства преодоления их, может быть на месте здесь.If we do not succeed in solving a mathematical problem, the reason frequently consists in our failure to recognize the more general standpoint from which the problem before us appears only as a single link in a chain of related problems. After finding this standpoint, not only is this problem frequently more accessible to our investigation, but at the same time we come into possession of a method which is applicable also to related problems. The introduction of complex paths of integration by Cauchy and of the notion of the IDEALS in number theory by Kummer may serve as examples. This way for finding general methods is certainly the most practicable and the most certain; for he who seeks for methods without having a definite problem in mind seeks for the most part in vain.In dealing with mathematical problems, specialization plays, as I believe, a still more important part than generalization. Perhaps in most cases where we seek in vain the answer to a question, the cause of the failure lies in the fact that problems simpler and easier than the one in hand have been either not at all or incompletely solved. All depends, then, on finding out these easier problems, and on solving them by means of devices as perfect as possible and of concepts capable of generalization. This rule is one of the most important levers for overcoming mathematical difficulties and it seems to me that it is used almost always, though perhaps unconsciously.

Результаты (русский) 2:

Использование геометрических знаков в качестве средства строгого доказательства предполагает точное знание и полное освоение аксиом, лежащих в основе этих цифр; и для того , чтобы эти геометрические фигуры могут быть включены в общую сокровищницу математических знаков, то необходимо строгое аксиоматическое исследование их концептуального содержания. Так же , как и в сложения двух чисел, необходимо поместить цифры друг под другом в правильном порядке, так что только правила расчета, т.е. аксиомы арифметики, определить правильное использование цифр, поэтому использование геометрических знаков определяется аксиомами геометрических понятий и их сочетаний.
соглашение между геометрической и арифметической мысли проявляется также в том , что мы не по привычке следовать цепочку рассуждений обратно к аксиомам в арифметической, больше , чем в геометрических дискуссий. Наоборот мы применяем, особенно в первом нападении на проблему, быстрое, без сознания, не совсем уверен , комбинацию, доверяя к определенному арифметической чувства за поведение арифметических символов, которые мы могли бы освобождают лишь в арифметике , как с геометрическим воображение в геометрии. В качестве примера арифметической теории , оперирующей строго с геометрическими идеями и знаками, я могу упомянуть работу Минковского, Die Geometrie дер Zahlen.2
Некоторые замечания после трудностей , с которыми математические проблемы могут предложить, и средства их преодоления, может быть на месте здесь .
Если нам не удастся в решении математической задачи, причина часто заключается в нашей неспособности признать более общей точки зрения , с которой эта проблема перед нами появляется только как одно звено в цепи связанных с этим проблем. После обнаружения этой точки зрения не только эта проблема часто более доступной для нашего исследования, но в то же время мы приходим во владение метод , который применим также связанных с этим проблем. Внедрение сложных путей интегрирования по Коши и понятия идеалами в теории чисел Куммером может служить в качестве примеров. Таким образом , для нахождения общих методов, безусловно , является наиболее практичным и наиболее верным; ибо тот , кто ищет методы , не имея определенную проблему в виду , ищет по большей части тщетно.
При решении математических задач, специализация играет, как я полагаю, еще более важную роль , чем обобщение. Возможно , в большинстве случаев , когда мы ищем напрасно ответ на вопрос, причина отказа заключается в том , что проблемы проще и легче , чем в кассе, либо не совсем или не полностью решенной. Все зависит от того , то, на выяснение этих проблем проще, и на их решения с помощью устройств как можно более совершенного и понятий , способных обобщения. Это правило является одним из наиболее важных рычагов для преодоления математических трудностей , и мне кажется , что она используется почти всегда, хотя , возможно , бессознательно.