J.Е.  Freund's System Natural Numbe

J.Е.  Freund's System Natural Numbers Postulates Modern mathematicians are accustomed to derive properties of natural numbers from a set of axioms or postulates,  i.e. (that is).  undefined unproved statements that disclose the meaning of the abstract conceрis Axioms acquire the status of true statements.  We may begin with the well-known system of 5 axioms of the Italian mathematician Peano that provides the description of natural numbers. These axioms are: First-1 is a natural number. second-  any number which is a successor(follower)  of a natural number is itself a natural number.  Third-no two natural numbers have the same follower Fourth the natural number 1 is not the follower ofany other natural number.  Fifth if a series of natural numbers includes both the number I and the follower of natural number,  then the series contains all every natural numbers.  The fifth axiom is the principle(law)  of math induction From the axioms it follows that there must be infinitely many naturalnum bers since the series cannot stop.  lt cannot circle back to its starting(as)  point either because is the immediate follower ofany natural number not In essence,  Peano's theory states that the series of natural numbers is well ordered and presents a general problem of quantification lt places the natu-  ral numbers in an ordinal relation and the commonest example of ordination is the thi The domain of applications of Peano's theory of IS much wider than the series of natural numbers al e g the relational 1/4 and ms similarly From Peano's five rules we can state and enumerate all the familiar characteris tics and properties of natural numbers.  IOther mathematicians define properties in terms of 8 or even 12 axioms U.E.  Freund)  and these characterize properties of natural numbers much more compre systems specify ofoperations both arithmetical and logical Note that sums and products of natural numbers are written as atband a b or ab,  respectively.  For every pair of natural numbers,  a and b,  in that order there is a unique(one and only one)  natural number called the sum ofa and b Postulate No.  2:  If a and b are natural numbers,  then a +b b+a Postulate No.  3:  If a,  b and c are natural numbers,  then(a +b)  +c at(b+c)  Postulate No.  4:  For every pair of natural numbers,  a and b,  in that order,  there is a unique(one and only one)  natural number called the product.  Postulate No.  5:  Ifa and b are natural numbers,  then ab ba Postulate No.  6:  If a,  b and c are natural numbers,  then(ab)  c a(bc)  Postulate No.  There is a natural number called"one"  and written I so that ira is an arbitrary natural number,  then a Postulate No.  9 Ifa,  b and c are natural numbers and irac be then a b Postulate No.  10:  If a,  b and c are natural numbers,  and if a+c b+c,  then a b Postulate No Any set of natural numbers which(b includes the num ber 1,  and which 2)  includes a 1 whenever it includes the natural number a,  includes every natural numbe Postulate No.  12 For any pair of natural numbers,  a and b one and only one of the following alternatives must hold eithera b.  r there is a natural num ber such that atx b,  or there is a natural number y such that b+y Freund's system of 12 postulates provides the possibility to characterize natural numbers when we explain how they behave and what math rules they must obey To conclude the definition of numbers"  can say that they must be interpreted eithe as standing for the whole number or else for all their math properties The arithmetic of whole numbers is based on 12 postulates Using these postulates mathematician are able to prove all other rules about the natural numbers with which peo long been familiarsince mathematicians are interested mainly in the math properties of number, they use the term "natural numbers " on preference to "whole numbers ".

Результаты (русский) 1:

J.Е. Фройнд системы натуральных чисел постулаты современной математики привыкли наследовать свойства натуральных чисел из набора аксиомы и постулаты, т.е. (то есть). неопределенные недоказанных заявлений, которые раскрыть смысл абстрактных conceрis аксиом приобретают статус истинные утверждения. Мы можем начать с хорошо известной системой 5 аксиом итальянский математик Пеано, который предоставляет описание натуральных чисел. Эти аксиомы являются: первое-1 является натуральное число. второй - любой номер, который является successor(follower) натуральное число само натуральное число. Третий нет двух натуральных чисел имеют же последователь четвертый натуральное число 1 является не последователь направляет других натуральное число. Пятый Если ряд натуральных чисел включает как числа I и последователь натуральное число, серия содержит все каждый натуральных чисел. Пятой аксиомой является principle(law) математике индукции от аксиом, отсюда следует, что там должно быть бесконечно много naturalnum Берс, поскольку серии не может остановить. lt не круг обратно к своей точке starting(as), либо потому что немедленное последователь направляет натуральное число не по существу, Пеано теория государства, которые хорошо приказал серии натуральных чисел и представляет общие проблемы количественной оценки lt помещает природно ral чисел в порядковый номер связи и распространенным примером координации является Тхи домен приложений теории Пеано гораздо шире, чем серии натуральных чисел Аль e g реляционные 1/4 и ms аналогичным образом от Пеано пять правил мы можем заявить и перечислить все знакомые характеристи тики и свойства натуральных чисел. IOther математиков определяют свойства с точки зрения 8 или даже 12 аксиом Freund У.Е.) и они характеризуют свойства натуральных чисел, гораздо более уни систем указания ofoperations арифметические и логические, обратите внимание, что суммы и продуктов из натуральных чисел написаны как atband b или ab, соответственно. Для каждой пары натуральных чисел и b, в том, что порядок там называется уникальный (один и только один) натуральное число, сумма ofa и b постулат № 2: если и b являются натуральные числа, то + б + постулат № 3: если а, b и c являются натуральные числа, then(a +b) + c at(b+c) постулат № 4 : Для каждой пары натуральных чисел и b, в таком порядке, есть уникальный (один и только один) натуральное число под названием продукта. Постулат № 5: Ifa и b являются натуральные числа, а затем ab Ба постулат № 6: если а, b и c являются натуральные числа, then(ab) c a(bc) постулат № Там это натуральное число называется «один» и написал я, так что Ира является произвольное натуральное число, а затем постулат № 9 Ifa, b и c натуральных чисел и irac быть затем b постулат № 10: если а, b и c натуральных чисел, и если + c b + c, затем b постулат No любой набор природных номера которого (b включает num ber 1 и какие 2) включает в себя 1 всякий раз, когда он включает натуральное число, включает все природные r/номер постулат № 12 для любой пары натуральных чисел, и b один и только один из следующих вариантов должны иметь eithera b. r есть естественный num ber такие что atx b, или есть натуральное число y такие что b + y Freund система 12 постулатов обеспечивает возможность характеризовать натуральных чисел, когда мы объяснить как они ведут себя и какие математические правила они должны подчиняться заключить определение чисел» можно сказать, что они должны быть интерпретированные ярк как стоя для целого числа, либо для всех их математические свойства арифметика целых чисел основан на 12 постулаты, используя эти постулаты математик способны доказать все другие правила о натуральных чисел, с которой долго ПЭО были familiarsince математиков заинтересованы главным образом в математические свойства числа , они используют термин «натуральных чисел» на предпочтение «целых чисел».

Результаты (русский) 2:

J.Е. Система Природные Числа Фрейнда Постулаты Современные математики привыкли извлекать свойства натуральных чисел из набора аксиом или постулатов, т.е. (то есть). неопределенные недоказанные утверждения, которые раскрывают смысл абстрактных conceрis Аксиомах приобретают статус истинных утверждений. Мы можем начать с известной системой 5 аксиом итальянский математик Пеано, который обеспечивает описание натуральных чисел. Эти аксиомы: во-первых-1 представляет собой натуральное число. второго любое количество, которое является правопреемником (последователь) натурального числа является само собой натуральное число. Третьи не двух натуральных чисел не имеют одинаковый последователь Четвертый натуральное число 1 не является последователем ofany другой натурального числа. Пятый если ряд натуральных чисел включает в себя как число, которое я и последователь натурального числа, то ряд содержит все каждые натуральных чисел. Пятой аксиомой является принцип (закон) о математике индукции из аксиом следует, что должно быть бесконечно много naturalnum Берс, так как ряд не может остановиться. л не может круг обратно в исходное (как) указывают либо потому, что является непосредственным последователем ofany натурального числа не по существу, теория Пеано заявляет, что ряд натуральных чисел вполне упорядочено и представляет общая задача количественного LT размещает стихийных число в порядкового отношения и самой распространенной например рукоположения является Тхи область применения теории Пеано в гораздо шире, чем натурального ряда аль например реляционной 1/4 и мс Подобным же пять правил Пеано можно констатировать и перечислить все знакомый характе- тики и свойства натуральных чисел. IOther математики определить свойства с точки зрения 8 или даже 12 аксиом UE Freund) и которые характеризуют свойства натуральных чисел гораздо больше систем Compre указать ofoperations как арифметические и логические Обратите внимание, что суммы и произведения натуральных чисел написаны, как atband AB или AB, соответственно. Для каждой пары натуральных чисел, а, б, в таком порядке существует единственный (один и только один) натуральное число называется суммой OFA и б Постулат № 2: Если б натуральные числа, то а + б б + постулат № 3: Если а, в и с являются натуральные числа, то (A + B) + C на (B + C) Постулат № 4: Для каждой пары натуральных чисел, а, б, в таком порядке , существует единственное (одно и только одно) натуральное число называется произведением. Постулат № 5: Ифа и б натуральные числа, то АВ ба Постулат № 6: Если А, В и С являются натуральные числа, то (AB) ча (BC) Постулат No. Существует натуральное число называется "один" и написал, так что ира произвольное натуральное число, то постулат № 9 Ифа, б и в натуральные числа и IRAC быть то АВ Постулат № 10: Если а, в и С являются натуральные числа, а если + C B + C, то АВ Постулат Нет Неважно множество натуральных чисел, которые (б включает количест 1, и который 2) включает в себя 1, когда она включает в себя натуральное число а, включает в себя всякое натуральное Numbe Постулат № 12 Для любой пары натуральные числа, а, б один и только один из следующих вариантов должны иметь eithera B. г существует естественный количест такой, что ATX б, или есть натуральное число у, что б система + Y Фрейнда 12 постулатов обеспечивает возможность охарактеризовать натуральные числа, когда мы объясняем, как они ведут себя и что математика правила, которые они должны соблюдать, чтобы заключить определение чисел "можно сказать, что они должны быть интерпретированы eithe стоящим за целого ряда либо для всех своих математических свойств арифметика целых чисел, основанных на 12 постулатов Используя эти постулаты математик способны доказать всем другим правилам о натуральные числа, с которыми ПЭО давно стали familiarsince математиков заинтересованы в основном в математике свойств числа, они используют термин "натуральные числа" на предпочтение "целых чисел".