ГЛАВА 7. Вторая квадратичная форма

ГЛАВА 7. Вторая квадратичная форма поверхности
7.1 Основной вопрос – кривизна поверхности. Основным вопросом в локальной теории поверхностей является искривленность поверхности, т.е. характер отличия ее от плоскости. Оказывается, этот вопрос разбивается на две части:
внутренний, касающийся геометрии самой поверхности и выраженный в терминах ее метрики, т.е. первой квадратичной формы, и внешний, касающийся ее расположения в пространстве, которое задается еще одной дифференциальной
формой. Ею мы будем заниматься в этой главе.
Форма фигур в пространстве это относительное понятие, связанное с выбором группы преобразований пространства.
В качестве основной группы принимают группу движений аффинного пространства – преобразований, сохраняющих расстояние. Мы видели, что для кривой в пространстве ее форма полностью определяется двумя функциями – функциями
кривизны и кручения. Для поверхностей имеет место аналогичный факт: форма поверхности определяется двумя квадратичными формами. (Хотя, в отличие от случая кривых, не для всякой пары форм найдется поверхность с такими
формами.)
По идее Гаусса (которого привели к его геометрическим исследованиям занятия геодезией – измерениями на земной
поверхности) собственная или “внутренняя” геометрия поверхности определяется измерениями длин кривых, лежащих
на ней, и углов между ними, а форма расположения – измерениями расстояний между ее точками в R3. Так как измерение длин, углов, площадей на поверхности выражается через первую квадратичную форму, внутренняя геометрия
поверхности совпадает с изучением первой квадратичной формы.
Форма поверхности прежде всего связана, как сказано, с ее искривленностью. Замечательное открытие Гаусса состояло в обнаружении характеристики кривизны, названной им мерой кривизны, которая выражается (довольно сложным
образом) через коэффициенты первой квадратичной формы и, следовательно, не меняется при перемещениях поверхности в пространстве с сохранением ее метрики, т.е., с сохранением длин кривых, лежащих на поверхности. Теперь эту
характеристику называют также гауссовой кривизной.
Например, для любой цилиндрической или конической поверхности, которые локально легко разворачиваются на
плоскость без растяжений или сжатий, эта величина равняется нулю. Вообще, если две поверхности можно одновременно
параметризовать так, что в соответствующих точках коэффициенты первой квадратичной формы будут совпадать, то
кривизны их в соответствующих точках одинаковы.
Кривизна сферы во всех точках обратна квадрату ее радиуса и она не изометрична с плоской областью даже локально. (Кусок резинового мяча нельзя уложить на плоскость без растяжений.) Вообще, в точках, где поверхность выпукла,
кривизна положительна. В седловых точках (как у гиперболического параболоида) она отрицательна и это означает, что
ни при каких изгибаниях поверхности, сохраняющих ее локальную метрику, нельзя добиться, чтобы окрестность такой
точки стала выпуклой.
Кривизна внутренняя и кривизна расположения. Мы знаем, что коэффициенты первой квадратичной формы выражаются через первые производные радиус-вектора поверхности. Оказывается, что изгиб, связанный с ее расположением
в пространстве, выражается через вторые частные производные. (Например, изгиб цилиндра.) Это выражение получить
легче, чем теорему Гаусса, и мы начинаем с его изучения, оставляя теорему Гаусса до следующей главы.

Результаты (русский) 3:

第七章。第二基本形式的核心问题——
7.1表面曲率的表面。在局域理论的核心问题是искривленность表面的表面，即。她从平面的性质差异。原来，这个问题分为两个部分：
内部关于几何表面本身和以其度量的术语，即。第一квадратичной形式，和外，关于其在空间的位置，另一个鉴别
预设的形式。在这一章我们将处理其人物。
形状的空间是相对的概念，有关选择组变换为核心的空间。
аффинного空间组组接受运动——转型，保持距离。我们所看到的，她是在空间曲线的形状完全确定的两个功能——
曲率和扭转的功能。具有类似的事实：对表面的地方由两个квадратичными形状的表面形状。（虽然不同的情况，在不为任何对曲线的形式，这种形式有表面

。）高斯（思想的研究导致了他上课的几何测量地球表面上的геодезией——
）自己的或“内部”定义的长度的曲线曲面的几何测量，
在她背后，他们之间的形状和角度的位置，并测量点之间的距离——她在R3。那么如何测量长度，角度，面积квадратичную表示，通过在第一表面上的形状，配合的内表面的几何研究的第一квадратичной

表面形状的形式。首先，关系到如何说，她的искривленностью。奇妙的高斯曲率检测的特点是开放的、名为他们的曲率措施（相当复杂的表达，通过第一квадратичной
）和系数的形式，因此，在不改变流动保留她的度量空间中曲面的曲线的长度，即，在保留的潜在的表面。现在这个

也被称为高斯曲率的特点。例如，对于任何的圆柱或圆锥表面展开的局部容易，没有紧张或сжатий
平面上，该值等于零。实际上，如果两个表面可以同时
параметризовать相关系数，所以在第一квадратичной重叠的点的形式，那么他们的相关点的曲率在

是相同的。在所有的点的范围обратна方盒件的曲率半径和她不изометрична她甚至局部平坦的领域。（一块橡胶球不能把平面上的根本，没有紧张点。）выпуклаbethesda的表面曲率的地方，
。（有点像在седловых双曲抛物面的отрицательна）她和这意味着
在任何изгибаниях表面，保持其本地метрику，不能实现，以邻域点成为这样的

曲率和曲率的凸的。内的位置。我们知道，第一квадратичной系数的形式通过第一衍生物的表达载体表面的半径。原来，弯曲，有关她的位置
的空间，通过第二个私人衍生物的表达。（例如，弯曲缸的表达。）这是更容易获得比
，高斯定理，我们开始与他的研究高斯定理，留到下一章。