Through simple physical experiments

Through simple physical experiments using loops of flexible thread which are deformed by a soap film that is bounded by the loops, we have demonstrated a natural link between two of the oldest problems in geometrical physics and the calculus of variations, bringing together Euler's Elastica and Plateau's problem. The union of these leads to the question of the shape of minimal surfaces bounded by elastic lines, a new class of questions at the nexus of geometry and physics. We have formulated a simple geometric variational principle for the shapes of these surfaces and their boundaries and a corresponding set of coupled systems of partial differential equations for the double free boundary problem. A combination of scaling concepts, asymptotic analysis and numerical simulation allows us to characterize the qualitative nature of the solutions that result.

However, many questions remain. While a minimal physical realization of the Euler–Plateau problem is a kitchen-sink experiment, its ramifications are likely to go far beyond this specific manifestation, just as the humble soap film and the elastic filament have been relevant for the study of matter, not just at the every-day scale, but also for systems that range from molecules to black holes (Penrose 1973; Thomas et al. 1988; Kamien 2002), while inspiring art (Ferguson, http://www.helasculpt.com/). In addition, both Euler's Elastica and Plateau's problem have inspired a variety of mathematical developments in topology, geometry, analysis and beyond (Bryant & Griffiths 1983; Langer & Singer 1984; Osserman 2002; Colding & Minicozzi 2007; Morgan 2008). Perhaps their fruitful union might also do the same? Some immediate mathematical questions include proofs of existence, regularity of solutions, as well as measures of the non-uniqueness of solutions, particularly for large values of the only parameter in the problem γ or its discrete analogue kL3/α. In terms of applications, the Euler–Plateau problem is probably lurking behind almost every physical manifestation of the Plateau problem, itself an idealization; time alone will uncover these. Further generalizations that introduce the effects of finite shearing and bending rigidity in the soap film, the torques from the soap film's Plateau borders on the filament, the effects of twist deformations of the filament due to anisotropy and inhomogeneity of its cross section, etc., are just some avenues that might be worth exploring; indeed, some of these arise naturally in problems of vertebrate gut morphogenesis (Savin et al. 2011) and elsewhere.

Результаты (русский) 1:

Через простой физических экспериментов с помощью петель гибкой нити, которые деформируются мыло пленкой, которая граничит с петель, мы продемонстрировали естественная связь между двумя из старых проблем в геометрической физики и Вариационное, объединяя каучуконосный Эйлера и проблема плато. Объединение этих приводит к вопросу о форме минимальной поверхностей, окруженная упругой линии, новый класс вопросов на стыке геометрии и физики. Мы разработали простой геометрической вариационный принцип для формы этих поверхностей и их границ и соответствующий набор сопряженных систем уравнений в частных производных для двойной бесплатно краевой задачи. Сочетание расширения концепции, асимптотический анализ и математическое моделирование позволяет нам характеризуют качественный характер решения этого результата.Однако многие вопросы остаются. Хотя минимальный физической реализации Эйлера – плато проблемы раковины эксперимент, его последствия могут выйти далеко за рамки этого конкретного проявления, так же, как фильм скромный мыла и упругой нити для изучения вопроса, не только в масштабе каждый день, но и для систем, которые варьируются от молекул до черных дыр (Penrose 1973; Thomas et al. 1988 года; KAMIEN 2002), в то время как вдохновляющее искусство (Фергюсон, http://www.helasculpt.com/). Кроме того проблемы каучуконосный Эйлера и плато вдохновил множество математических разработок в топологии, геометрию и анализ и за его пределами (Брайант и Гриффитс 1983; Лангер и певица 1984; Osserman 2002; Колдинг и Minicozzi 2007; Морган 2008). Возможно их плодотворный союз может также сделать то же самое? Некоторые немедленного математические вопросы включают в себя доказательства существования, регулярности решений, а также мер уникальность решений, особенно для больших значений параметра только в γ проблемы или его дискретных аналоговых kL3/α. С точки зрения приложений, Эйлера – плато проблема вероятно скрывается позади почти каждое физическое проявление проблемы плато, сам Ан идеализация; время в одиночку будет выявить эти. Дальнейшего обобщения, которые представить последствия конечных стрижка и изгиб жесткость в фильме мыла, вращающие моменты из фильма мыло плато граничит накаливания, эффекты деформации твист нити вследствие анизотропии и неоднородности ее поперечное сечение и т.д., являются лишь некоторые возможности, которые могут быть стоит изучить; действительно некоторые из них возникают естественным образом в проблемы позвоночных кишки морфогенез (Савин и соавт., 2011) и в других местах.

Результаты (русский) 2:

Посредством простых физических экспериментов с использованием петли гибкой нити , которые деформируются с помощью мыльной пленки, ограниченной петли, мы продемонстрировали естественную связь между двумя из старейших проблем в геометрической физике и вариационного исчисления, объединяющее Elastica Эйлера и Плато проблема. Объединение этих приводит к вопросу о форме минимальных поверхностей , ограниченных упругих линий, нового класса вопросов на стыке геометрии и физики. Мы разработали простой геометрический принцип вариационного для форм этих поверхностей и их границ и соответствующий набор связанных систем уравнений в частных производных для двойной задачи со свободной границей. Сочетание масштабирования понятий, асимптотического анализа и численного моделирования позволяет характеризовать качественный характер решений , которые являются результатом. Тем не менее, остается много вопросов. В то время как минимальная физическая реализация задачи Эйлера-Плато является натуралистический эксперимент, его последствия, скорее всего, выходят далеко за рамки этого конкретного проявления, подобно тому , как скромному мыльной пленки и эластичной нити, были актуальны для изучения вопроса, а не как раз на каждый день масштабе, но и для систем , которые варьируются от молекул до черных дыр (Пенроуза 1973; Thomas и др 1988;. kamień 2002), в то время как вдохновляющее искусство (Фергюсон, http://www.helasculpt.com/) , Кроме того, оба Elastica Эйлера и проблема Плато вдохновили множество математических разработок в топологии, геометрии, анализа и за ее пределами (Bryant & Griffiths , 1983; Langer & Singer , 1984; 2002; Оссерман Colding & Minicozzi 2007; Morgan 2008). Возможно , их плодотворный союз может также сделать то же самое? Некоторые непосредственные математические вопросы включают в себя доказательства существования, регулярность решений, а также меры неоднозначности решений, особенно для больших значений единственного параметра в задаче Г или его дискретный аналог KL3 / а. С точки зрения приложений, задача Эйлера-Плато, вероятно , скрывается позади почти каждое физическое проявление проблемы плоскогорье, сама по себе идеализацию; только время будет раскрыть их. Дальнейшие обобщения, вводящие эффекты конечного сдвига и жесткость при изгибе в мыльной пленке, крутящие моменты от Plateau границ мыльной пленки по нити накала, эффекты твист деформаций нити из - за анизотропии и неоднородности ее поперечного сечения и т.д., лишь некоторые направления , которые могут быть достойны изучения; В самом деле, некоторые из них естественным образом возникают в задачах позвоночного кишечника формообразования (Савин и др. 2011) и в других местах.

Результаты (русский) 3:

с помощью простых физических экспериментов с использованием петли гибких нить, деформированных мыльная пленка, которая граничит с петель, мы продемонстрировали естественной связи между двух старейших проблем в геометрической физики и вариационное исчисление, объединяя эйлера каучуконосный и проблема плато.союз этих возникает вопрос о форме минимальными поверхностей граничит с эластичным линий, новый класс вопросы на стыке геометрии и физики.мы разработали простой геометрической вариационные принципы для фигуры этих поверхностей и их границ и соответствующего комплекса в сочетании системы дифференциальных уравнений за двойной бесплатно пограничной проблемы.сочетание расширения концепции, асимптотического анализ и численное моделирование позволяет нам выдавать качественный характер решений, что результат.однако многие вопросы остаются.при минимальной физической реализации эйлера - плато, проблема заключается в раковине эксперимент, его последствия, скорее всего, выходят далеко за рамки этой конкретные проявления, как скромный мыло фильм и эластичные накала имеют значение для изучения вопроса, а не только на каждый день масштаба, но для систем, которые варьируются от молекулы на черные дыры (пенроуз 1973; томас и др.1988 года; kamien 2002 года), в то время как пропаганды искусства (фергюсон, http: / / www.helasculpt. com /).кроме того, оба эйлера каучуконосный и проблема плато, вдохновили различных математических события в топологии, геометрии, анализ и в последующий период (Bryant & гриффитс 1983; лангер & певица 1984 года; osserman 2002; Colding & minicozzi 2007; Morgan 2008).возможно, их плодотворного союза также может сделать то же самое?некоторые непосредственные математических относятся вопросы доказательства существования, регулярности их решений, а также мер не уникальность решений, в частности для большого значения единственный параметр в гамма или его отдельные проблемы аналоговых kl3 /).в плане техники, эйлер - плато проблемы, вероятно, скрывается за почти все физические проявления плато проблемы, что само по себе является идеализация; время позволит обнаружить эти.далее обобщений, что представить последствия конечных сдвига и изгиб, жесткость в мыло фильм, моментов из мыла фильм плато границ на лампы накаливания, последствия твист деформаций нити накала в результате анизотропии и inhomogeneity его поперечного сечения, и только некоторые возможности, которые могут быть достойны изучения; более того, некоторые эти проблемы возникают естественным образом в позвоночных нутро морфогенез (савин и др.в 2011 году), и в других странах.