10.3.3 minimum spanning tree Constr

10.3.3 minimum spanning tree Construction
A given graph G = (V, E), in general, can have many different spanning trees. To each edge of G, assign a weight to denote the cost of using that edge in an application. The weight of a spanning tree is the sum of the weights of all its edges. Of all the possible spanning trees of a graph, the spanning tree with the smallest weight is called the minimum spanning tree (MST). The MST has many applications. Consider building a subway system connecting a number of places of interest in a metro. There is a cost of digging underground tunnels and laying train lines, and this cost depends on the pair of endpoints chosen. An MST connecting the places of interest will keep the project cost to a minimum. In a communication network, if there is a predefined cost for sending a packet across the different edges, then the MST helps broadcast data packets to all nodes at minimum cost. Two well-known sequential algorithms for computing the MST are Prim’s algorithm (also called Prim–Dijkstra algorithm) and Kruskal’s algorithm.
Prim’s algorithm of building the MST is a greedy algorithm and starts with a tree T =(V′, E′) where V′ = {i} (the construction can start from any node i ∈ V) and E′ = Ø. The MST construction augments T by adding an edge (k, j) ∈ E such that (1) k ∈ V′ and (2) j ∉ V′, and (k, j) has the smallest weight of all such edges. This augmentation clearly guarantees that no cycle is created. Recursive application of this step leads to the final MST, when V′ = V. In case a choice has to be made between two or more edges with the same cost, any one of them can be chosen. Kruskal’s algorithm is also a greedy algorithm but works somewhat differently: It starts with a forest G′ = (V, E′), where E′ = Ø, and augments G′ by adding the edge (k, j) ∈ E such that (1) (k, j) has the smallest weight of all the edges not belonging to E′ and (2) no cycle is created. When (|V| − 1) edges have been added, the MST is formed. As in Prim’s algorithm, when a choice has to be made between two or more edges with the same weight, anyone of them can be chosen. Before we present a distributed algorithm for MST, consider the following lemma.

Результаты (русский) 1:

10.3.3 Минимальное остовное дерево строительствоДанный граф G = (V, E), в целом, может иметь много различных spanning деревьев. Для каждого края G назначьте вес для обозначения стоимости использования этого края в приложении. Вес остовного дерева является суммой весов всех его краев. Из всех возможных spanning деревьев графа остовное дерево с наименьшим весом называется Минимальное остовное дерево (MST). MST имеет множество применений. Рассмотрим построение системы метро соединения нескольких достопримечательностей в метро. Существует стоимость рытья подземных туннелей и прокладки железнодорожных линий, и эта стоимость зависит от пары выбранных конечных точек. MST, соединяющие места интереса будет держать стоимость проекта до минимума. В сети связи если заранее стоимость отправки пакета через разные края, то MST помогает пакеты передачи данных для всех узлов при минимальных затратах. Два известных последовательных алгоритмов для вычисления MST являются Prim алгоритм (также называемый алгоритм Дейкстры-Prim) и Алгоритм Крускала 's.Prim’s algorithm of building the MST is a greedy algorithm and starts with a tree T =(V′, E′) where V′ = {i} (the construction can start from any node i ∈ V) and E′ = Ø. The MST construction augments T by adding an edge (k, j) ∈ E such that (1) k ∈ V′ and (2) j ∉ V′, and (k, j) has the smallest weight of all such edges. This augmentation clearly guarantees that no cycle is created. Recursive application of this step leads to the final MST, when V′ = V. In case a choice has to be made between two or more edges with the same cost, any one of them can be chosen. Kruskal’s algorithm is also a greedy algorithm but works somewhat differently: It starts with a forest G′ = (V, E′), where E′ = Ø, and augments G′ by adding the edge (k, j) ∈ E such that (1) (k, j) has the smallest weight of all the edges not belonging to E′ and (2) no cycle is created. When (|V| − 1) edges have been added, the MST is formed. As in Prim’s algorithm, when a choice has to be made between two or more edges with the same weight, anyone of them can be chosen. Before we present a distributed algorithm for MST, consider the following lemma.

Результаты (русский) 2:

10.3.3 минимального покрывающего дерева Строительство
данного графа G = (V, E), вообще говоря , может иметь множество различных связующих деревьев. Для каждого ребра G, назначить вес для обозначения стоимости с использованием этого края в приложении. Вес связующего дерева является суммой весов всех его ребер. Из всех возможных остовных деревьев графа, покрывающего дерева с наименьшим весом называется минимальное покрывающее дерево (MST). MST имеет множество применений. Рассмотрим построение системы метро , соединяющий ряд достопримечательностей в метро. Существует стоимость земляных работ подземных тоннелей и прокладке железнодорожных линий, и эта стоимость зависит от пары конечных точек , выбранных. MST , соединяющая места , представляющие интерес будет держать стоимость проекта до минимума. В сети связи, если существует предопределенная стоимость для отправки пакета по различным кромками, то МСТ помогает широковещательные пакеты данных во все узлы при минимальных затратах. Два известных последовательных алгоритмов для вычисления MST являются алгоритм Прима (также называемый Прима-Дейкстры алгоритм) и алгоритм Крускала.
Алгоритм Прима построения MST является жадный алгоритм и начинается с дерева T = (V ', E') , где V '= {I} (строительство может начаться с любого узла I ∈ V) и Е' = O. Конструкция МСТ увеличивает T добавлением ребра (к, J) ∈ E такие , что (1) K ∈ V 'и (2) J ∉ V', и (к, J) имеет наименьший вес всех таких ребер. Это увеличение явно гарантирует , что ни один цикл не создается. Рекурсивный применение этого шага приводит к окончательному MST, когда V '= В. В том случае , выбор должен быть сделан между двумя или более режущих кромок с той же стоимостью, любой из них может быть выбран. Алгоритм Крускала также жадный алгоритм , но работает несколько иначе: Он начинается с лесом G '= (V, E'), где Е '= O, и увеличивает G', добавив ребро (K, J) ∈ E такая , что (1) (K, J) имеет наименьший вес всех ребер , не принадлежащих к Е 'и (2) не цикл не создается. Когда (| V | - 1) ребра , которые были добавлены, ТМП формируется. Как и в алгоритме Прима, когда выбор должен быть сделан между двумя или более ребер с тем же весом, любой из них может быть выбран. Перед тем , как представить распределенный алгоритм для MST, рассмотрим следующую лемму.