Bifurcation theory aims to characte

Bifurcation theory aims to characterize the possible qualitative changes in the long-time behaviour of a dynamical system as parameters are varied (Guckenheimer & Holmes 1986;Kuznetsov 1997; Wiggins 2003). In recent decades, this has lead to an almost complete theoretical treatment of low-codimension cases; roughly speaking, the codimension of a bifurcation is the typical number of parameters that must be varied in order to explore all different dynamical behaviours that occur nearby.
The systematic study of bifurcation points of higher codimension is important owing to their role as ‘organizing centres’ for the overall bifurcation structure in a given dynamical system. In the context of pattern-forming instabilities in continuum physical systems, such higher codimension bifurcations are often referred to as ‘mode interactions’ (Golubitsky et al. 1988; Cross & Hohenberg 1993; Hoyle 2006). Many authors, beginning with Dangelmayr (1986), have investigated the dynamics of a number of such mode interaction problems in spatially extended pattern-forming systems in two or three dimensions, involving various combinations of steady-state and oscillatory instabilities.
In this paper, we return to one of the longest studied of these problems (Dangelmayr 1986;Armbruster et al. 1987; Jones & Proctor 1987; Proctor & Jones 1988; Porter & Knobloch 2001) and point out the existence of a new class of instabilities that destabilize spatially periodic ‘mixed-mode’ equilibrium states in very similar ways to that in which the well-known Turing mechanism destabilizes a spatially homogeneous equilibrium in a pair of coupled reaction–diffusion equations (Murray 2002). We find that the instabilities may be either amplitude-driven or phase-driven, and occur directly as a result of a ‘strong spatial resonance’ in the mode interaction; they do not occur generically near the mode interaction point in cases of weak, or non-existent, spatial resonance. We consider the 1 : 2 and 1 : 3 resonances in detail. The new instabilities, although steady state in nature, are related to the two kinds of oscillatory instability (one leading to travelling waves and another to standing waves) that are present in the normal form ordinary differential equations (ODEs) for these resonant mode interactions. Since neither of these latter instabilities occurs in the weakly resonant or non-resonant cases (i.e. in the simple case of coupled Stuart–Landau equations, where the phases of the modes are not strongly coupled), neither new instability is possible either.
An important distinction in the general set-up of mode interaction problems is between the ‘unconstrained’ case, where two separate minima in the marginal stability curve for the initial homogeneous state occur for the same value of the control parameter (figure 1a), and the ‘constrained’ case where the smallness of the horizontal domain fixes the wavenumber (figure 1b).

Результаты (русский) 1:

Теория бифуркаций призвана охарактеризовать возможные качественные изменения в давно поведение динамической системы, как параметры являются разнообразные (Гукенхаймер & Холмс 1986; Кузнецов 1997 года; Уиггинс 2003). В последние десятилетия это привело к почти полной теоретической лечения случаев низкой коразмерности; грубо говоря, коразмерности бифуркации является типичным количество параметров, которые должны быть изменены для того, чтобы исследовать все различные динамические поведения, которые происходят поблизости.Систематическое изучение точек бифуркации выше коразмерности имеет важное значение ввиду их роль как «организации центров» для общей структуры бифуркации в данной динамической системы. В контексте формирования шаблона неустойчивостей в континуум физических систем, такие выше бифуркаций коразмерности часто называют «режим взаимодействия» (Голубицкий et al., 1988; Крест и Гогенберг 1993 года; Хойл 2006). Многие авторы, начиная с Dangelmayr (1986), исследовали динамика ряда таких проблем взаимодействия режим в spatially расширенную модель формирования систем в двух или трех измерениях, включая различные комбинации статичных и колебательной неустойчивости.В этой статье мы возвращаемся к одной из длинных изучал этих проблем (Dangelmayr 1986; Армбрустер et al. 1987; Джонс и Проктор 1987; Proctor & Джонс 1988 года; Портер и Кноблох 2001) и указывают на существование нового класса неустойчивостей, которые дестабилизируют государства пространственно периодических 'смешанном режиме' равновесия в очень похожим образом, в котором известный механизм Тьюринга дестабилизирует пространственно однородного равновесия в паре спаренных реакции диффузии уравнений (Мюррей 2002). Мы находим, что нестабильность может быть управляемая амплитуды или фазы driven и происходят непосредственно в результате 'сильный пространственный резонанс' в режиме взаимодействия; они происходят не родово, вблизи точки взаимодействия режим в случае слабого или несуществующих, пространственный резонанс. Мы считаем, 1: 2 и 1: 3 резонансов в деталях. Новой нестабильности, хотя установившемся в природе, связаны с двух видов колебательной нестабильности (один ведет к путешествовать стоя волны волны и другой), которые присутствуют в обычном форме обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) для этих резонансного режима взаимодействия. Поскольку ни один из этих последних нестабильности происходит в слабо резонансной или не резонансных случаях (то есть в самом простом случае спаренных Стюарт – Ландау уравнений, где сильно не соединены фазы режимов), ни новой нестабильности возможно либо.Важное различие в общей структуре режима взаимодействия проблем находится между «неограниченный», где два отдельных минимумов в маргинальных остойчивости для начального состояния однородной происходят на то же значение параметра управления (рис. 1а) и «ограничением» дело где малость горизонтальных домена фиксирует волновое (рис. 1b).

Результаты (русский) 2:

Теория бифуркаций стремится охарактеризовать возможные качественные изменения в длительном поведении динамической системы , как параметры изменяются (Гукенхеймера & Holmes 1986; Кузнецов , 1997; Уиггинс 2003). В последние десятилетия это привело к почти полному теоретическому лечения больных с низкими коразмерности; грубо говоря, коразмерность бифуркации является типичным число параметров , которые должны быть изменены для того , чтобы исследовать все различные динамические модели поведения , которые происходят рядом.
Систематическое изучение точек бифуркации высших коразмерностью имеет важное значение из - за их роли в качестве "организации центров" для общей структуры бифуркаций в данной динамической системе. В контексте модели формирования нестабильностей в континууме физических системах, такие высшие бифуркации коразмерности часто называют «взаимодействий режима» (Голубицкий и др 1988;. & Cross Hohenberg 1993; Hoyle 2006). Многие авторы, начиная с Dangelmayr (1986), исследовали динамику ряда таких проблем взаимодействия мод в пространственно протяженных модели формирования систем в двух или трех измерениях, включая различные комбинации стационарных и колебательных неустойчивостей.
В данной работе, мы возвращаемся к одному из самых длинных изученных этих проблем (Dangelmayr 1986; Армбрустер и др 1987;. Jones & Proctor 1987; Proctor & Jones 1988; Porter & Кноблох 2001) и указывают на существование нового класса неустойчивостей , которые дестабилизируют пространственно периодический 'смешанного режима' состояний равновесия в очень сходных способов, в котором известный механизм Тьюринг дестабилизирует пространственно однородный равновесия в паре связанных уравнений реакции-диффузии (Murray , 2002). Мы обнаружили , что неустойчивость может быть или амплитудно-приводом или приводом фазы, и происходят непосредственно в результате «сильного пространственного резонанса» в режиме взаимодействия; они не встречаются в общем вблизи точки взаимодействия режима в случаях слабой или несуществующей, пространственный резонанс. Рассмотрим 1: 2 и 1: 3 резонансы в деталях. Новые неустойчивости, хотя устойчивое состояние в природе, связаны с двумя видами колебательной неустойчивости (один , приводящих к бегущих волн и других стоячих волн), которые присутствуют в нормальной форме обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) для этих резонансных режимов взаимодействия. Так как ни один из этих последних неустойчивостей не происходит в слабо резонансных или нерезонансных случаях (например , в простом случае связанных уравнений Стюарта-Ландау, где фазы мод не сильно связанной), ни новая неустойчивость возможна либо.
Важным различие в общей постановке задач взаимодействия мод находится между 'непринужденного' случае, когда две отдельные минимумы кривой предельной устойчивости исходного однородного состояния возникают при том же значении управляющего параметра (рис 1а), а ' ограниченным "случай , когда малость горизонтальной области фиксирует волновое число (рисунок 1b).