Lemma 10.6Until the MST is formed,

Lemma 10.6

Until the MST is formed, there must always be a pair of fragments, such that the roots of these two fragments will send a join message to each other.

Proof: Consider the fragments across the edge of least weight. They must send join messages to each other. This will trigger either a merge or an absorb operation. ◾

10.3.3.3 Message Complexity
Since a fragment at level k has at least 2k nodes, the maximum level number cannot exceed log2 n. In each of these levels, each node receives (1) at most one initiate message from the root and (2) at most one accept message (response to a test message) and sends (3) one report message (response to initiate) toward the root, (4) at most one test message leading to an accept from the other end, and (5) one changeroot message (or a join message to a different fragment). Since there are n nodes, an upper bound of these messages is 5n ⋅ log2n. In addition to the above, count the test messages leading to a rejection. An edge is rejected only once in the entire algorithm. So the number of these test and reject messages will not exceed 2|E|. Therefore, the overall message complexity of the MST algorithm will
not exceed 5n ⋅ log2n + 2|E|.

Результаты (русский) 1:

Лемма 10.6До MST, всегда необходимо пару фрагментов, таким образом, что корни этих двух фрагментов будет отправить сообщение соединения друг с другом.Доказательство: Рассмотрим фрагменты через край наименее веса. Они должны отправлять друг другу сообщения join. Это вызовет слияния или поглощают операцию. ◾10.3.3.3 сложность сообщенияПоскольку фрагмент на уровне k имеет минимум 2 k узлов, максимальный номер уровня не может превышать log2 n. В каждом из этих уровней каждый узел получает (1) в большинстве инициировать сообщение от корня и (2) более одного accept сообщения (ответ на тестовое сообщение) и посылает (3) одно сообщение (ответ инициировать) к корень, (4) в большинстве одно тестовое сообщение, ведущих к accept с другого конца и (5) одно сообщение changeroot (или join сообщение другой фрагмент). Поскольку n узлов, верхняя граница из этих сообщений является 5n ⋅ log2n. В дополнение к выше количество тестовых сообщений, ведущих к отказу. Край отклоняется только один раз в весь алгоритм. Таким образом число этих испытаний и отклонять сообщения не будет превышать 2 | E |. Таким образом будет общее сообщение сложность алгоритма MSTне превышать 5n ⋅ log2n + 2 | E |.

Результаты (русский) 2:

Из леммы 10.6

до образования ТМП, всегда должна быть пара фрагментов, таким образом, что корни этих двух фрагментов будет посылать сообщение присоединяться друг к другу.

Доказательство: Рассмотрим фрагменты поперек края наименьшего веса. Они должны послать присоединиться сообщения друг с другом. Это вызовет либо слияние или операцию впитывать. ◾

10.3.3.3 Сообщение Сложность
Так как фрагмент на уровне к имеет , по меньшей мере 2k узлов, максимальное число уровень может не превышать log2 п. В каждом из этих уровней, каждый узел принимает (1) не более одного инициировать сообщение от корня и (2) не более одного принимает сообщение (ответ на тестовое сообщение) и посылает (3) сообщение один отчет (ответ инициировать) в направлении корень, (4) не более одного тестового сообщения , ведущие к принимать с другого конца, и (5) одного changeroot сообщение (или сообщение присоединиться к другому фрагменту). Так как существует п узлов, верхняя граница этих сообщений 5n ⋅ log2n. В дополнение к вышесказанному, рассчитывать на тестовые сообщения , ведущие к отказу. Ребро отклоняется только один раз во всем алгоритме. Таким образом, количество этих испытаний и отклонять сообщения , не будет превышать 2 | E |. Таким образом, общая сложность сообщения алгоритма MST будет
не превышать 5N ⋅ log2n + 2 | E |.