Theorem 10.4The 6-coloring algorith

Theorem 10.4

The 6-coloring algorithm for planar graph terminates in O(n2) steps.
Proof: After at most n = |V| steps of the dag-generation layer A, all edges will be directed. The actions of the coloring layer B cannot undo the effect of dag-generation layer A, or disable the actions of component A. Therefore, with a weakly fair scheduler, regardless of the progress of component B, in a bounded number of steps of the composite algorithm, all guards of component A will be disabled. Thereafter, in at most O(n2) steps, all nodes will be properly colored. Thus, the time complexity of the algorithm is O(n2). ◾

The aforementioned proof uses the general idea of convergence stairs first proposed in [GM91]. The framework uses a finite sequence of predicates H0, H1, H2, …, Hk − 1 for a layered construction involving a composite algorithm with k layers, where Hj (0 ≤ j ≤ k – 1) is the predicate that holds after layer j terminates. If Hj is closed under the actions of the layers (j + 1) through k, then the concurrent execution of the composite algorithm is guaranteed to reach a configuration that satisfies the postcondition Hk. Here, there are two layers:

Результаты (русский) 1:

Теорема 10.46-окраски алгоритм для планарного графа завершается в O(n2) шагов.Доказательство: После в большинстве n = | V | шаги группы доступности базы данных поколения слоя A, все ребра будут направлены. Действия слоя окраски B не может отменить действие группы доступности базы данных поколения слоя A, или отключить действия компонента а. Таким образом с слабо равномерный планировщик, вне зависимости от хода выполнения компонента B, ограниченное число шагов составного алгоритма, будут отключены все охранники компонента A. После этого в более O(n2) шагов, все узлы будут правильно цветные. Таким образом время сложность алгоритма является O(n2). ◾Вышеупомянутые доказательство использует общую идею сближения лестницы, впервые предложена в [GM91]. Инфраструктура использует конечная последовательность предикатов H0, H1, H2, Hk − 1 для слоистой конструкции с составной алгоритм с k слоями, где Hj (0 ≤ j ≤ k-1) является предикат, который держит после слоя j. Если Hj закрывается под действия слоев (j + 1) через k, то одновременное выполнение составного алгоритма гарантированно достичь конфигурации, которая удовлетворяет постусловия Hk. Здесь есть два слоя:

Результаты (русский) 2:

Теорема 10.4

6-раскраски алгоритм для плоского графа заканчивается в O (n2) шагов.
Доказательство: После того, как максимум п = | V | Этапы слоя А даг поколения, все ребра будут направлены. Действия окраски слоя Б не может отменить эффект слоя А даг поколения, или отключить действия компонента А. Таким образом, со слабо справедливого планировщика, независимо от прогресса компонента В, в ограниченном количестве шагов композиционный алгоритм, будут отключены все охранники компонента А. После этого, не более чем в (n2) шагов вывода, все узлы будут надлежащим образом окрашены. Таким образом, временная сложность алгоритма O (n 2). ◾

Вышеупомянутое доказательство использует общую идею конвергенции лестницы , впервые предложенной в работе [GM91]. Структура использует конечную последовательность предикатов H0, H1, H2, ..., Hk - 1 для слоистой конструкции , включающей составной алгоритм с к слоям, где Hj (0 ≤ J ≤ K - 1) является предикат , который имеет место после того, как слой J завершает свою работу . Если Hj замкнуто относительно действий слоев (J + 1) через к, то параллельное выполнение составного алгоритма гарантированно достичь конфигурации , которая удовлетворяет постусловие Нк. Здесь есть два слоя: