Occasionally it happens that we see

Occasionally it happens that we seek the solution under insufficient hypotheses or in an incorrect sense, and for this reason do not succeed. The problem then arises: to show the impossibility of the solution under the given hypotheses, or in the sense contemplated. Such proofs of impossibility were effected by the ancients, for instance when they showed that the ratio of the hypotenuse to the side of an isosceles right triangle is irrational. In later mathematics, the question as to the impossibility of certain solutions plays a preeminent part, and we perceive in this way that old and difficult problems, such as the proof of the axiom of parallels, the squaring of the circle, or the solution of equations of the fifth degree by radicals have finally found fully satisfactory and rigorous solutions, although in another sense than that originally intended. It is probably this important fact along with other philosophical reasons that gives rise to the conviction (which every mathematician shares, but which no one has as yet supported by a proof) that every definite mathematical problem must necessarily be susceptible of an exact settlement, either in the form of an actual answer to the question asked, or by the proof of the impossibility of its solution and therewith the necessary failure of all attempts. Take any definite unsolved problem, such as the question as to the irrationality of the Euler-Mascheroni constant C, or the existence of an infinite number of prime numbers of the form 2n + 1. However unapproachable these problems may seem to us and however helpless we stand before them, we have, nevertheless, the firm conviction that their solution must follow by a finite number of purely logical processes.

Результаты (русский) 1:

Иногда это случается, что мы ищем решение недостаточно гипотез или неправильное смысле и по этой причине не удастся. Тогда возникает проблема: чтобы показать невозможность решения данной гипотезы, или в том смысле, предусматривается. Такие доказательства невозможности были произведены от древних, например когда они показали, что отношение гипотенузы к стороне равнобедренный правый треугольник является иррациональным. В более поздних математике вопрос о невозможности некоторых решений играет выдающийся часть, и мы воспринимаем таким образом, что старые и сложные проблемы, такие как доказательство аксиома parallels, квадратуры круга или решения уравнений пятой степени, радикалы наконец-то нашли полностью удовлетворительным и жесткие решения, хотя и в другом смысле, чем это первоначально предполагалось. Это, вероятно, этот важный факт, наряду с другими философские причины, что дает основание для осуждения (которые каждый математик акций, но никто еще не поддерживает доказательство) что каждой определенной математической проблемы обязательно должно быть точное поселение, либо в виде фактического ответа на вопрос спросил, или доказательство невозможности его решения и с ними необходимые провала всех попыток. Принимать любые определенные нерешенные проблемы, в частности вопрос о том, иррациональность C постоянная Эйлера-Маскерони или существование бесконечного числа простых чисел формы 2n + 1. Однако неприступной эти проблемы могут казаться нам и однако беспомощным, мы стоим перед ними, мы, тем не менее, твердо убеждена в том, что их решение должно следовать конечным числом чисто логических процессов.

Результаты (русский) 2:

Время от времени бывает так, что мы ищем решение при недостаточности гипотез или в неправильном смысле, и по этой причине не удастся. Тогда возникает проблема: чтобы доказать невозможность решения при заданных гипотез, или в том смысле, предполагается. Такие доказательства невозможности осуществлялись древними породами, например, когда они показали, что отношение гипотенузы к стороне равнобедренного прямоугольного треугольника является нерациональным. В более поздних математике, вопрос о невозможности некоторых решений играет первенствующее часть, и мы воспринимаем таким образом, что старые и сложные проблемы, такие как доказательство аксиомы параллельности, квадратуры круга, или решения уравнения пятой степени в радикалах, наконец, нашли вполне удовлетворительные и строгие решения, хотя и в ином смысле, чем первоначально предполагалось. Это, вероятно, этот важный факт, наряду с другими философскими причинами, что приводит к убеждению (которой каждый математик акций, но которого никто пока еще не поддерживается доказательством), что каждая определенная математическая проблема обязательно должна быть восприимчива точного урегулирования, либо в виде фактического ответа на поставленный вопрос, либо доказательства невозможности ее решения и тем самым необходимым провал всех попыток. Возьмем какой-либо определенной нерешенная проблема, таких, как вопрос о нецелесообразности Эйлера-Mascheroni константы С, или существование бесконечного числа простых чисел вида 2n + 1. Однако неприступные эти проблемы могут показаться нам и тем не менее беспомощны мы стоим перед ними, у нас есть, тем не менее, твердо убеждены в том, что их решение должно следовать за конечным числом чисто логических процессов.

Результаты (русский) 3:

иногда случается, что мы ищем решение, в соответствии с недостаточным гипотезы или в неверном смысла, и по этой причине не удастся.тогда возникает проблема: чтобы продемонстрировать невозможность решения по данной гипотезы, или в том смысле, не планируется.такие доказательства не были выполнены, древние, например, когда они показывают, что соотношение гипотенуза в сторону от isosceles прямоугольный треугольник иррационально.позже в математике, вопрос о невозможности некоторых решений играет главнейшая часть, и мы воспринимаем, таким образом, что старые и сложных проблем, таких, как доказательств аксиома параллели, все в круг, или решение уравнений пятой степени радикалами, есть, наконец, нашли полностью удовлетворительным и строгий решения, хотя и в другом смысле, чем первоначально предполагалось.вероятно, это важное обстоятельство, наряду с другими философским причинам, что порождает убежденность (который все математик акций, но никто пока не поддерживается доказательств), что каждый определенные математические задачи обязательно должна быть восприимчива конкретного урегулирования, либо в виде фактических ответить на поставленный вопрос, или доказательство невозможности ее решение и с ним необходимые провала всех попыток.принять какие - либо определенные нерешенные проблемы, такие, как вопрос о иррациональность в постоянная эйлера - маскерони C, или существование бесконечное число простых чисел, о форме 2n + 1.однако недоступная этих проблем может показаться нам и поэтому беспомощным перед нами, мы, тем не менее, твердую убежденность в том, что их решение должно следовать конечное число сугубо логических процессов.