One-sided shift spaces over infinit

One-sided shift spaces over infinite alphabets
William Ott, Mark Tomforde
and Paulette N. Willis
In symbolic dynamics one begins with a set of symbols and considers spaces consisting of sequences of these symbols that are closed under the shift map. There are two approaches that are used: one-sided shift spaces that use sequences of symbols indexed by N, and two-sided shift spaces that use bi-infinite sequences indexed by Z. In this paper, we shall be concerned exclusively with one-sided shifts. In the classical construction of a one-sided shift space, one begins with a finite set A (called the alphabet or symbol space) and then considers the set A N := A × A × · · · consisting of all sequences of elements of A. If we give A the discrete topology, then A is compact (since A is finite), and Tychonoff’s theorem implies that AN with the product topology is also compact. In addition, the shift map σ : AN → AN defined by σ(x1x2x3 . . .) := x2x3x4 . . . is continuous. The pair (AN, σ) is called the (one-sided) full shift space, and a shift space is defined to be a pair (X, σ|X) where X is subset of AN such that X is closed and σ(X) ⊆ X. Since X is a closed subset of a compact space, X is also compact. In the analysis of shift spaces the compactness plays an essential role, and many fundamental results rely on this property. Attempts to develop a theory of shift spaces when the alphabet A is infinite (even countably infinite) have often been stymied by the fact that the spaces considered are no longer compact — and worse yet, not even locally compact. For instance, if one takes a countably infinite set A = {a1, a2, . . .}, one can give A the discrete topology and consider the space A N := A × A × · · · with the product topology. In this situation, the shift map σ : AN → AN defined by σ(x1x2x3 . . .) := x2x3x4 . . . is continuous. However, the space AN is no longer compact or even locally compact. For example, any open set U in AN must contain a basis element of the form Z(x1 . . . xm) = n x1 . . . xmzm+1zm+2 . . . ∈ AN : zk ∈ A for k ≥ m + 1o , and if we define x n := x1 . . . xmananan . . ., then {x n}∞ n=1 is a sequence in Z(x1 . . . xm) without a convergent subsequence. Hence the closure of U is not (sequentially) compact, and AN is not locally compact. Therefore, if we define a shift space over A to be a pair (X, σ|X) where X is a closed subset of AN with the property that σ(X) ⊆ X, then the set X will be a closed, but not necessarily compact, subset of AN. This lack of compactness makes it difficult to establish results for such subspaces, and as a result this approach to shift spaces over countable alphabets has encountered difficulties. The purpose of this paper is to give a new definition for the (one-sided) full shift and its subshifts when the alphabet A is infinite. In this new definition the full shift and all shift spaces are compact, and this will allow 4 WILLIAM OTT, MARK TOMFORDE AND PAULETTE N. WILLIS techniques from the classical theory of shifts over finite alphabets to be more readily generalized to this setting. It is our hope that this new definition will allow for applications to dynamics that are unavailable using current methods. Furthermore, our new definition reduces to the classical definition when A is finite. The key idea of our new definition of the full shift is to begin with an infinite alphabet A that we endow with the discrete topology. We then let A∞ = A ∪ {∞} denote the one-point compactification of A. Since A∞ is compact, the product space XA := A∞ × A∞ × · · · is compact. However, we do not want to take XA as our definition of the full shift, since it includes sequences that contain the symbol ∞, which is not in our original alphabet. Therefore, we shall consider an identification of elements of XA with infinite and finite sequences of elements in A. Specifically, we do the following: If x = x1x2 . . . ∈ XA has the property that xi 6= ∞ for all i ∈ N, then we do nothing and simply consider this as an infinite sequence of elements of A. If x = x1x2 . . . ∈ XA has an ∞ occurring, we consider the first place that such an ∞ appears; for example, write x = x1 . . . xn∞. . . with xi 6= ∞ for 1 ≤ i ≤ n and identify x with the finite sequence x1 . . . xn. In this way we define an equivalence relation ∼ on XA such that the quotient space XA/ ∼ of all equivalence classes is identified with the collection of all sequences of symbols from A that are either infinite or finite (details of this equivalence relation are described in Section 2.1). We let ΣA denote the set of all finite and infinite sequences of elements of A, and using the identification of ΣA with XA/ ∼, we give ΣA the quotient topology it inherits from XA. While quotient topologies are in general not well behaved, we can prove that with this topology the space ΣA is both compact and Hausdorff. Moreover, the shift map σ : ΣA → ΣA, which simply removes the first entry from any sequence, is a map on ΣA that is continuous at

Результаты (русский) 1:

One-sided сдвиг пространства над бесконечным алфавитовУильям Ott, Марк Tomfordeи. н. Уиллис ПолеттIn symbolic dynamics one begins with a set of symbols and considers spaces consisting of sequences of these symbols that are closed under the shift map. There are two approaches that are used: one-sided shift spaces that use sequences of symbols indexed by N, and two-sided shift spaces that use bi-infinite sequences indexed by Z. In this paper, we shall be concerned exclusively with one-sided shifts. In the classical construction of a one-sided shift space, one begins with a finite set A (called the alphabet or symbol space) and then considers the set A N := A × A × · · · consisting of all sequences of elements of A. If we give A the discrete topology, then A is compact (since A is finite), and Tychonoff’s theorem implies that AN with the product topology is also compact. In addition, the shift map σ : AN → AN defined by σ(x1x2x3 . . .) := x2x3x4 . . . is continuous. The pair (AN, σ) is called the (one-sided) full shift space, and a shift space is defined to be a pair (X, σ|X) where X is subset of AN such that X is closed and σ(X) ⊆ X. Since X is a closed subset of a compact space, X is also compact. In the analysis of shift spaces the compactness plays an essential role, and many fundamental results rely on this property. Attempts to develop a theory of shift spaces when the alphabet A is infinite (even countably infinite) have often been stymied by the fact that the spaces considered are no longer compact — and worse yet, not even locally compact. For instance, if one takes a countably infinite set A = {a1, a2, . . .}, one can give A the discrete topology and consider the space A N := A × A × · · · with the product topology. In this situation, the shift map σ : AN → AN defined by σ(x1x2x3 . . .) := x2x3x4 . . . is continuous. However, the space AN is no longer compact or even locally compact. For example, any open set U in AN must contain a basis element of the form Z(x1 . . . xm) = n x1 . . . xmzm+1zm+2 . . . ∈ AN : zk ∈ A for k ≥ m + 1o , and if we define x n := x1 . . . xmananan . . ., then {x n}∞ n=1 is a sequence in Z(x1 . . . xm) without a convergent subsequence. Hence the closure of U is not (sequentially) compact, and AN is not locally compact. Therefore, if we define a shift space over A to be a pair (X, σ|X) where X is a closed subset of AN with the property that σ(X) ⊆ X, then the set X will be a closed, but not necessarily compact, subset of AN. This lack of compactness makes it difficult to establish results for such subspaces, and as a result this approach to shift spaces over countable alphabets has encountered difficulties. The purpose of this paper is to give a new definition for the (one-sided) full shift and its subshifts when the alphabet A is infinite. In this new definition the full shift and all shift spaces are compact, and this will allow 4 WILLIAM OTT, MARK TOMFORDE AND PAULETTE N. WILLIS techniques from the classical theory of shifts over finite alphabets to be more readily generalized to this setting. It is our hope that this new definition will allow for applications to dynamics that are unavailable using current methods. Furthermore, our new definition reduces to the classical definition when A is finite. The key idea of our new definition of the full shift is to begin with an infinite alphabet A that we endow with the discrete topology. We then let A∞ = A ∪ {∞} denote the one-point compactification of A. Since A∞ is compact, the product space XA := A∞ × A∞ × · · · is compact. However, we do not want to take XA as our definition of the full shift, since it includes sequences that contain the symbol ∞, which is not in our original alphabet. Therefore, we shall consider an identification of elements of XA with infinite and finite sequences of elements in A. Specifically, we do the following: If x = x1x2 . . . ∈ XA has the property that xi 6= ∞ for all i ∈ N, then we do nothing and simply consider this as an infinite sequence of elements of A. If x = x1x2 . . . ∈ XA has an ∞ occurring, we consider the first place that such an ∞ appears; for example, write x = x1 . . . xn∞. . . with xi 6= ∞ for 1 ≤ i ≤ n and identify x with the finite sequence x1 . . . xn. In this way we define an equivalence relation ∼ on XA such that the quotient space XA/ ∼ of all equivalence classes is identified with the collection of all sequences of symbols from A that are either infinite or finite (details of this equivalence relation are described in Section 2.1). We let ΣA denote the set of all finite and infinite sequences of elements of A, and using the identification of ΣA with XA/ ∼, we give ΣA the quotient topology it inherits from XA. While quotient topologies are in general not well behaved, we can prove that with this topology the space ΣA is both compact and Hausdorff. Moreover, the shift map σ : ΣA → ΣA, which simply removes the first entry from any sequence, is a map on ΣA that is continuous at

Результаты (русский) 2:

Односторонние сдвиг пространства над бесконечными алфавитов
Уильям Отта, Марк Tomforde
и Полетт Н. Уиллис
В символической динамики одна начинается с набором символов и рассматривает пространства , состоящие из последовательностей этих символов, которые закрываются при отображении сдвига. Есть два подхода, которые используются: односторонние сдвига пространства , которые используют последовательности символов проиндексированных N и двустороннего сдвига пространства , которые используют би-бесконечных последовательностей , индексированных Z. В этой статье мы будем иметь дело исключительно с одно- односторонние сдвиги. В классической конструкции одностороннего сдвига пространстве, начинается с конечного множества А ( так называемый алфавит или символ пробела) , а затем рассматривает множество AN: = A × A × · · · состоящее из всех последовательностей элементов A . Если мы дадим дискретную топологию, то а компактно (так как а конечна), и теорема Тихонова вытекает , что с топологией произведения также компактно. Кроме того, отображение сдвига σ: (... X1x2x3) А. → An определяется a: = x2x3x4. , , непрерывен. Пара (AN, σ) называется (односторонний) полный сдвиг пространства, а сдвиг пространства определяется как пара (X, σ | X) , где Х представляет собой подмножество такое , что X замкнуто и σ ( X) ⊆ X. Так как X есть замкнутое подмножество компактного пространства, X также компактно. При анализе сдвига пространств компактность играет существенную роль, и многие фундаментальные результаты опираются на эту недвижимость. Попытки разработать теорию сдвига пространств , когда алфавит А бесконечно (даже счетное) часто загнаны в том , что рассматриваемые пространства больше не компактно - и , что еще хуже, даже не локально компактно. Например, если взять счетно бесконечное множество А = {а1, а2,. , .}, Можно дать дискретную топологию и рассмотрим пространство AN: = A × A × · · · с топологией произведения. В этой ситуации, отображение сдвига σ: (... X1x2x3) А. → An определяется a: = x2x3x4. , , непрерывен. Тем не менее, пространство А больше не компактно или даже локально компактно. Например, любое открытое множество U в AN должна содержать базис элемент вида Z (x1... Хт) = N x1. , , xmzm + 1zm + 2. , , ∈ AN: гк ∈ A для к ^ т + 1о, и если мы определим хп: = x1. , , xmananan. , ., То {хп} ∞ n = 1 представляет собой последовательность в Z (x1... Хт) без сходящейся подпоследовательности. Следовательно , замыкание U не является (последовательно) компактно, и АН не локально компактно. Поэтому, если мы определим сдвиг пространства над , чтобы быть парой (X, σ | X) , где X представляет собой замкнутое подмножество с тем свойством , что σ (X) ⊆ X, то множество X будет замкнутым, но не обязательно компактное, подмножество. Это отсутствие компактности затрудняет установление результатов для таких подпространств, и в результате этот подход перенести пространства над счетных алфавитов сталкивается с трудностями. Целью данной статьи является дать новое определение для (одностороннего) сдвига полного и его subshifts , когда алфавит А бесконечно. В этом новом определении полного сдвига и сдвига все пространства компактны, и это позволит 4 УИЛЬЯМ OTT, MARK TOMFORDE И Полетт Н. Willis методы из классической теории сдвигов над конечными алфавитами , чтобы быть более легко обобщается на этой установке. Мы надеемся , что это новое определение позволит приложениям к динамике, которые недоступны с использованием современных методов. Кроме того, наше новое определение сводится к классическому определению , когда А конечна. Основная идея нашего нового определения полного сдвига , чтобы начать с бесконечным алфавитом А , что мы наделяем дискретной топологией. Тогда пусть Аоо = A ∪ {∞} обозначим одну точку компактификацию А. Так как A∞ компактно, продукт пространство ХА: = A∞ × A∞ × · · · компактно. Тем не менее, мы не хотим , чтобы принять XA как наше определение полного сдвига, так как она включает в себя последовательности , которые содержат символ ∞, что нет в нашем оригинальном алфавите. Поэтому мы будем рассматривать идентификацию элементов XA с бесконечными и конечных последовательностей элементов в А. В частности, мы делаем следующее: Если х = x1x2. , , ∈ XA обладает тем свойством , что Xi 6 = ∞ для всех ∈ N, то мы ничего не делаем , а просто рассматривать это как бесконечной последовательности элементов матрицы А. Если х = x1x2. , , ∈ XA имеет ∞ происходит, мы считаем , первое место , которое появляется такое ∞; например, написать х = x1. , , xn∞. , , с XI 6 = ∞ для 1 ≤ ≤ п и определить х с конечной последовательности x1. , , хп. Таким образом , мы определим отношение эквивалентности ~ на ХА такое , что фактор - пространство XA / ~ всех классов эквивалентности отождествляется с совокупностью всех последовательностей символов из А, либо бесконечные или конечные (подробности этого отношения эквивалентности описаны в Раздел 2.1). Обозначим через ΣA обозначим множество всех конечных и бесконечных последовательностей элементов из А, и с помощью идентификации ΣA с XA / ~, мы даем ΣA фактор - топологию наследуемый от XA. В то время как фактор - топологии, вообще говоря, не очень хорошо себя вели, мы можем доказать , что с этой топологией пространство ΣA является одновременно компактным и Хаусдорфа. Кроме того, отображение сдвига σ: ΣA → ΣA, которая просто удаляет первую запись из любой последовательности, является отображением на ΣA , что непрерывна в