2. Analytic GeometryEvery student o

2. Analytic Geometry
Every student of mathematics meets the remarkable subject called Analytic Geometry, and he can hardly fail to be impressed by the powerful idea behind it. The essence of the idea is the establishment of a correspondence between pairs of real numbers and points in the plane, thereby making possible a correspondence between curves in the plane and equations in two variables, so that for each curve in the plane there is a definite equation f(x, y) = 0, and for each such equation there is a definite curve in the plane. A correspondence is similarly established between the algebraic and analytic properties of the equation f(x, y)= 0, and the geometric properties of the associated curve. The task of proving a theorem in geometry will cleverly be shifted to that of proving a corresponding theorem in algebra and analysis. There is no unanimity of opinion among historians of mathematics concerning who invented Analytic Geometry, nor even concerning what age should be credited with the invention. Much of this difference of opinion is caused by a lack of agreement regarding just what constitutes Analytic Geometry. There are those who, favouring Antiquity as the era of the invention, point out the well-known fact that the concept of fixing the position of a point by means of suitable coordinates was employed in the ancient world by the Egyptians and the Romans in surveying, and by the Greeks in map-making. And, if Analytic Geometry implies not onlу the use of coordinates but also the geometric interpretation of relations among coordinates, then a particularly strong argument in favour of crediting the Greeks is the fact that Appolonius (c. 225 В.C.) derived the bulk of his geometry of the conic sections from the geometrical equivalents of certain Cartesian equations of these curves, the idea which originated with Menaechmus about 350 В.C.
Others claim that the invention of Analytic Geometry should be credited to Nicole Oresme, who was born in Normandy about 1323 and died in 1382 after a career that carried him from a mathematics professorship to a bishopric. N. Oresme in one of his mathematical tracts, anticipated another aspect of Analytic Geometry, when he represented certain laws by graphing the dependent variable against the independent one, as the latter variable was permitted to take on small increments. Advocates for N. Oresme as the inventor of Analytic Geometry see in his work such accomplishments as the first explicit introduction of the equation of a straight line and the extension of some of the notions of the subject from two-dimensional space to three, and even four-dimensional spaces. A century after N. Oresme's tract was written, it enjoyed several printings and in this way it may possibly exert some influence on the succeeding mathematicians. However, before Analytic Geometry could assume its present highly practical form, it had to wait the development of algebraic symbolism, and the decisive contributions made in the seventeenth century by the two French mathematicians, R. Descartes (1596-1650) and P. Fermat (1601-1663), as the essential origin of at least the modern spirit of the subject. After the great impetus given to the subject bу these two men, we find Analytic Geometry in a form with which we are familiar today. R. Descartes and P. Fermat left very deep imprints on many subjects. Also the importance of Analytic Geometry is not only in the development of Geometry and in the theory of curves and surfaces in particular, but in the development of the calculus, as the influential power in molding our ideas of such far-reaching concepts as ‘function’ and ‘dimension’.

Результаты (русский) 1:

2. Аналитическая геометрияКаждый студент математики встречает замечательная тема называется аналитической геометрии, и он вряд ли может не быть впечатленным мощная идея. Суть идеи является установление соответствия между парами действительных чисел и точки на плоскости, тем самым делая возможным переписки между кривых в плоскости и уравнений в двух переменных, так что для каждой кривой в плоскости есть определенные уравнения f (x, y) = 0, и для каждого такого уравнения есть определенная кривая в плоскости. Корреспонденция также устанавливается между алгебраические и аналитические свойства уравнения f (x, y) = 0 и геометрические свойства связанного кривой. Задача доказать теоремы в геометрии будет сдвинута умно, доказательства соответствующее теорема алгебры и анализа. Существует нет единодушия среди историков математики, относительно, кто изобрел аналитической геометрии, ни даже о каком возрасте следует приписывают изобретение. Большая часть этой разницы во мнениях это вызвано отсутствия согласия относительно только что представляет собой аналитическую геометрию. Есть те кто, благоприятствующие античности, в эпоху изобретения, отметить тот хорошо известный факт, что концепция фиксации положения точки с помощью подходящих координатах был нанят египтяне и римляне в геодезии в древнем мире и греки в связанных. И, если аналитическая геометрия подразумевает не onlу использование координат, но также геометрическая интерпретация отношений между координатами, то особенно сильным аргументом в пользу кредитования греков является тот факт, что Appolonius (c. 225 В.C.) основную часть его геометрии конической секций на основе геометрических эквиваленты некоторых декартовых уравнений этих кривых , идея, которая возникла с Менехм о 350 В.C.Others claim that the invention of Analytic Geometry should be credited to Nicole Oresme, who was born in Normandy about 1323 and died in 1382 after a career that carried him from a mathematics professorship to a bishopric. N. Oresme in one of his mathematical tracts, anticipated another aspect of Analytic Geometry, when he represented certain laws by graphing the dependent variable against the independent one, as the latter variable was permitted to take on small increments. Advocates for N. Oresme as the inventor of Analytic Geometry see in his work such accomplishments as the first explicit introduction of the equation of a straight line and the extension of some of the notions of the subject from two-dimensional space to three, and even four-dimensional spaces. A century after N. Oresme's tract was written, it enjoyed several printings and in this way it may possibly exert some influence on the succeeding mathematicians. However, before Analytic Geometry could assume its present highly practical form, it had to wait the development of algebraic symbolism, and the decisive contributions made in the seventeenth century by the two French mathematicians, R. Descartes (1596-1650) and P. Fermat (1601-1663), as the essential origin of at least the modern spirit of the subject. After the great impetus given to the subject bу these two men, we find Analytic Geometry in a form with which we are familiar today. R. Descartes and P. Fermat left very deep imprints on many subjects. Also the importance of Analytic Geometry is not only in the development of Geometry and in the theory of curves and surfaces in particular, but in the development of the calculus, as the influential power in molding our ideas of such far-reaching concepts as ‘function’ and ‘dimension’.

Результаты (русский) 2:

2. Аналитическая геометрия
Каждый студент математики встречает замечательную тему под названием Аналитическая геометрия, и он не может не быть поражен мощным идеи позади него. Суть идеи заключается в создании соответствия между парами вещественных чисел и точек на плоскости, тем самым делая возможным соответствие между кривыми на плоскости и уравнений с двумя переменными, так что для каждой кривой в плоскости существует определенная уравнение F (х, у) = 0, и для каждого такого уравнения существует определенная кривая на плоскости. Соответствие аналогичным установлено между алгебраических и аналитических свойств уравнения F (х, у) = 0, а геометрическими свойствами соответствующего кривой. Задача доказать теорему в геометрии будет умно быть сдвинуты к тому, что доказательства в соответствующую теорему в алгебру и анализ. Там нет единого мнения среди историков математики, касающихся который изобрел аналитическую геометрию, ни даже относительно того, что возраст должен быть приписывают изобретение. Большая часть этой разницы во мнениях вызвано отсутствием согласия относительно просто, что составляет аналитической геометрии. Есть те, кто, ​​отдавая античность как эпоху изобретения, указывают известный факт, что концепция фиксации положения точки с помощью подходящих координат, которая используется в древнем мире египтяне и римляне в геодезии и греками в карте решений. И, если Аналитическая геометрия предполагает не Onlу использование координат, но и геометрическую интерпретацию отношений между координатами, то особенно сильным аргументом в пользу кредитования греков является тот факт, что Аполлония (с. 225 В.C.) вывел основную его геометрии конических сечений из геометрических эквивалентов некоторых декартовых уравнений этих кривых, идея, которая возникла с Менехм около 350 В.C.
Другие утверждают, что изобретение аналитической геометрии должны быть зачислены на Орем, который родился в Нормандия о 1323 и умер в 1382 году после карьеры, который нес его от математики профессуре в епископство. Н. Оресм в одном из своих математических трактатов, ожидается еще один аспект аналитической геометрии, когда он представлял некоторые законы от графиков зависимую переменную против независимого одного, а последняя переменная разрешили взять на малых приращений. Защитники Н. Оресм как изобретатель аналитической геометрии видеть в своей работе таких достижений, как первый явного введения уравнения прямой и расширение некоторых понятий субъекта от двумерном пространстве до трех, и даже четырехмерные пространства. Через сто лет после тракта Н. Оресм было написано, что на протяжении нескольких печатные и таким образом он, возможно, оказывают некоторое влияние на последующие математиков. Однако, прежде чем Аналитическая геометрия может взять на себя настоящую практичный вид, что пришлось ждать развития алгебраической символики, а решающий вклад, достигнутый в семнадцатом веке двух французских математиков, Р. Декарт (1596-1650) и П. Ферма (1601-1663), в качестве существенного происхождения, по меньшей мере современном духе субъекта. После большого импульс, приданный этому вопросу web-сайта этих двух мужчин, мы находим аналитической геометрии в форме, с которой мы знакомы сегодня. Р. Декарт и П. Ферма оставил очень глубокие отпечатки на многих предметах. Также важность аналитической геометрии не только в развитии геометрии и в теории кривых и поверхностей, в частности, но в развитии исчислении, как влиятельной державы в формировании наших представлений о таких далеко идущих концепций, как "функции 'и' размерность '.

Результаты (русский) 3:

2。解析几何数学的每一个学生都遇到了一个被称为解析几何的非凡学科，他很难对其背后的强大思想印象深刻。思想的本质是在平面上的实数和点之间的对应关系的建立，从而使平面和方程中的两个变量的曲线之间的对应关系，以便在平面上的每个曲线有一个明确的方程（×）= 0，并为每个这样的方程有一个明确的曲线在平面上。的代数和解析性质的方程（×）= 0，和相关的曲线的几何性质的相似性是相似的。证明了几何中的一个定理的任务，就很可能被转移到在代数和分析中证明了相应的定理。有没有一致的关于谁发明了解析几何的数学史家的意见，甚至也不是关于什么年龄应该归功于发明。这种意见的大部分差异是由于缺乏关于什么构成分析几何的协议引起的。有人，有利于古代发明的时代，指出通过适当的坐标确定点的位置的概念是由埃及人和罗马人在测量中采用古代世界众所周知的事实，在地图制作的希腊人。而且，如果解析几何意味着不仅у坐标的使用也关系坐标的几何解释，并在授信希腊人赞成特别有力的论据是，阿波罗尼奥斯（公元225ВC.）从这些曲线的直角坐标方程推导出几何当量一定他的几何曲线部分的大部分，思想起源于奈克穆斯350ВC.其他人认为，解析几何的发明应该归功于妮科尔奥雷姆，生于诺曼底约1323，死于1382年职业生涯，他从一个数学教授一个主教后。N.奥雷斯姆在他的数学大片，预期的另一个方面解析几何，当他代表一定的规律用作图反对独立的一个因变量，因为后者的变量是允许以小增量。N.奥雷斯姆主张作为解析几何的发明者看到他的工作，这些成就为一直线，从二维空间三的主题的一些概念的扩展方程首次明确介绍，甚至四维空间。之后，奥雷姆的道是写一个世纪，它经历了几个版本，这样可能对成功有影响的数学家。然而，在解析几何可以认为其目前的高度的实践形式，它必须等待代数符号的发展，并由两位法国数学家在第十七世纪作出决定性的贡献，笛卡尔（1596-1650）和P.费马（1601-1663），为至少有现代的主体精神的本质起源。给对象Bу这两人的巨大推动作用后，我们发现在形式与我们所熟悉的解析几何的今天。R.笛卡尔和P.费马留下了很深的印上许多学科。分析几何的重要性不仅在几何学的发展，在曲线和曲面的发展，尤其是在微积分的发展中，作为一类有影响力的力量，在塑造我们的观念，如“功能”和“尺寸”等意义深远的概念。