While insisting on rigor in the pro

While insisting on rigor in the proof as a requirement for a perfect solution of a problem, I should like, on the other hand, to oppose the opinion that only the concepts of analysis, or even those of arithmetic alone, are susceptible of a fully rigorous treatment. This opinion, occasionally advocated by eminent men, I consider entirely erroneous. Such a one-sided interpretation of the requirement of rigor would soon lead to the ignoring of all concepts arising from geometry, mechanics and physics, to a stoppage of the flow of new material from the outside world, and finally, indeed, as a last consequence, to the rejection of the ideas of the continuum and of the irrational number. But what an important nerve, vital to mathematical science, would be cut by the extirpation of geometry and mathematical physics! On the contrary I think that wherever, from the side of the theory of knowledge or in geometry, or from the theories of natural or physical science, mathematical ideas come up, the problem arises for mathematical science to investigate the principles underlying these ideas and so to establish them upon a simple and complete system of axioms, that the exactness of the new ideas and their applicability to deduction shall be in no respect inferior to those of the old arithmetical concepts.
To new concepts correspond, necessarily, new signs. These we choose in such a way that they remind us of the phenomena which were the occasion for the formation of the new concepts. So the geometrical figures are signs or mnemonic symbols of space intuition and are used as such by all mathematicians. Who does not always use along with the double inequality a > b > c the picture of three points following one another on a straight line as the geometrical picture of the idea "between"? Who does not make use of drawings of segments and rectangles enclosed in one another, when it is required to prove with perfect rigor a difficult theorem on the continuity of functions or the existence of points of condensation? Who could dispense with the figure of the triangle, the circle with its center, or with the cross of three perpendicular axes? Or who would give up the representation of the vector field, or the picture of a family of curves or surfaces with its envelope which plays so important a part in differential geometry, in the theory of differential equations, in the foundation of the calculus of variations and in other purely mathematical sciences?
The arithmetical symbols are written diagrams and the geometrical figures are graphic formulas; and no mathematician could spare these graphic formulas, any more than in calculation the insertion and removal of parentheses or the use of other analytical signs.

Результаты (русский) 1:

While insisting on rigor in the proof as a requirement for a perfect solution of a problem, I should like, on the other hand, to oppose the opinion that only the concepts of analysis, or even those of arithmetic alone, are susceptible of a fully rigorous treatment. This opinion, occasionally advocated by eminent men, I consider entirely erroneous. Such a one-sided interpretation of the requirement of rigor would soon lead to the ignoring of all concepts arising from geometry, mechanics and physics, to a stoppage of the flow of new material from the outside world, and finally, indeed, as a last consequence, to the rejection of the ideas of the continuum and of the irrational number. But what an important nerve, vital to mathematical science, would be cut by the extirpation of geometry and mathematical physics! On the contrary I think that wherever, from the side of the theory of knowledge or in geometry, or from the theories of natural or physical science, mathematical ideas come up, the problem arises for mathematical science to investigate the principles underlying these ideas and so to establish them upon a simple and complete system of axioms, that the exactness of the new ideas and their applicability to deduction shall be in no respect inferior to those of the old arithmetical concepts.Новые концепции соответствуют, обязательно, новые знаки. Эти мы выбираем таким образом, что они напоминают нам о явлений, которые являются поводом для формирования новых концепций. Таким образом геометрические фигуры являются знаками или мнемонические символы космической интуиции и используются как таковые всеми математиками. Кто не всегда используется вместе с двойной неравенства > b > c изображение трех точек после друг друга по прямой линии как геометрический рисунок идея «между»? Кто не делает использование чертежей сегментов и прямоугольников, заключенный в друг с другом, когда требуется доказать с идеальной строгости трудной теорема о непрерывности функций или существование точек конденсации? Кто может обойтись с фигурой Треугольника, круг с центром или с крестом трех перпендикулярных осей? Или кто бы представление поля вектора или изображение семейства кривых или поверхностей с его конверт, который играет столь важную роль в дифференциальной геометрии, теории дифференциальных уравнений, Фонд Вариационное и других чисто математических наук?Арифметические символы записываются диаграммы и геометрические фигуры представляют собой графические формулы; и не математик может эти графические формулы, больше, чем в расчете вставки и удаления скобок или использование других аналитических признаков.

Результаты (русский) 2:

Настаивая на строгость в доказательстве как требование для идеального решения проблемы, я хотел бы , с другой стороны, чтобы выступить против мнения , что только понятия анализа, или даже те , только арифметики, подвержены из полностью строгое рассмотрение. Такое мнение, время от времени выступают выдающихся людей, я считаю совершенно ошибочным. Такое одностороннее толкование требования строгости в скором времени приведет к игнорированию всех понятий , вытекающих из геометрии, механики и физики, к остановке потока нового материала от внешнего мира, и , наконец, в самом деле, в качестве последнего следствие, к отказу от идеи континуума и иррационального числа. Но какой важный нерв, жизненно важное значение для математической науки, будет обрезана экстирпации геометрии и математической физики! Напротив , я считаю , что там , где, со стороны теории познания или в геометрии, или из теорий естественного или физической науки, математические идеи появляются, возникает проблема для математической науки , чтобы исследовать принципы , лежащие в основе этих идей и т.д. установить их на простой и полной системы аксиом, что точность новых идей и их применимость к дедукции должно быть ни в каком отношении уступают старым арифметическим понятий.
чтобы новые понятия соответствуют, обязательно, новые знаки. Это мы выбираем таким образом , что они напоминают нам о явлениях , которые были поводом для формирования новых понятий. Таким образом, геометрические фигуры , знаки или мнемонические символы космической интуиции и используются в качестве таковых всех математиков. Кто не всегда использует наряду с двойным неравенством а> Ь> с изображением трех точек следующих друг за другом на одной прямой в виде геометрической картины идеи "между"? Кто не использовать чертежи отрезков и прямоугольников вложенных друг в друга, когда требуется доказать с совершенной строгостью сложную теорему о непрерывности функций или существования точек конденсации? Кто бы мог обойтись без фигуры треугольника, окружности с центром, или с крестом из трех перпендикулярных осей? Или кто бы отказаться от представления векторного поля, или картину семейства кривых или поверхностей с ее оболочкой , которая играет столь важную роль в дифференциальной геометрии, в теории дифференциальных уравнений, в основе вариационного исчисления ? и в других чисто математических наук
арифметические символы записываются диаграммы и геометрические фигуры являются графическими формулами; и ни один математик не мог избавить эти графические формулы, больше , чем в расчете на вставку и удаление скобок или использование других аналитических признаков.

Результаты (русский) 3:

настаивая на активность в доказательство, как требование для идеального решения проблемы, я хотел бы, с другой стороны, выступают против мнения о том, что только концепций анализа, или даже арифметики в одиночку, могут в полной мере жесткого обращения.это мнение, иногда выступает видных людей, я считаю абсолютно ошибочными.такие односторонние толкования требования в строгости вскоре приведет к игнорированию всех концепций, связанных с геометрией, механики и физики, а остановка притока новых материалов от внешнего мира, и, наконец, действительно, в качестве последнего следствие, отказ от идеи перехода и иррациональное число.но какой важный нерв, жизненно важное значение для математических наук, будут сокращены на истребление в геометрии и математической физики!наоборот, я думаю, что где бы, со стороны теорией знаний или по геометрии, или от теории естественного или физической науки математические идеи приходят, возникает проблема по математике для изучения принципов, лежащих в основе этих идей и установить их на простой и полной системы аксиом, что точность новых идей и их применимость к вычет будет не хуже, чем в отношении старых арифметические концепций.в новой концепции совпадают, обязательно, новые знаки.это мы решили таким образом, что они напоминают нам о явлениях, которые стали поводом для формирования новых концепций.так что геометрические фигуры знаков или символов пространства мнемоника интуиции и используются в качестве такового всеми математики.кто не всегда использовать наряду с двойной неравенство > b > C картина три очка после друг друга на прямой линии, как геометрические картины идея "между"?кто не использует чертежи сегментов и прямоугольники, заключенный в друг друга, когда требуется доказать с идеальной строгости сложная теорема о непрерывности функций или наличие точки конденсации?кто может обойтись без цифра треугольник, круг с центром, или с креста трех перпендикулярно оси?и кто бы представителей векторное поле, или фотографии семьи кривые или поверхностей с его конверт, который играет столь важную роль в дифференциальной геометрии, в теории дифференциальных уравнений, в основу этого вариационное исчисление и другие чисто математических наук?арифметическая обозначения написаны диаграммы и геометрические фигуры, наглядно формул; и не могут спасти эти графические формулы, математик, больше, чем в расчет включения и устранение круглые или использование других аналитических знаки.