It has been realized since the work

It has been realized since the work of that the global relations can be solved numerically. In this direction, different numerical techniques have been derived by several authors, see e.g. Here, following Fornberg and co-worker, we use the Legendre basis and also overdetermine the relevant system; furthermore motivated by the results of, we introduce a simple choice of ‘collocation’ points. This choice involves the positive number R and the positive integer M; M is a measure of overdeterminancy and R/M is the distance between two consecutive points.

We provide strong numerical evidence that if M and R satisfy the constraints given by equation then the condition number of the associated system is of order 1. For example, for the trapezoidal domain analysed in the condition number reduces from O(108) to 4.7.

We next discuss the relation of the method presented in this paper with two other methods for solving linear elliptic PDEs in the literature which are also based on the relation:

(i) The null field method for the solution of the Helmholtz equation in the exterior of a bounded obstacle (originally introduced by Waterman in [25,26]) and (ii) a method for the solution of the Helmholtz equation above a periodic rough surface introduced by DeSanto and further developed by DeSanto and co-workers. The advantage of these two methods, as well as of the method described in this paper, is that they are boundary-based discretizations that do not involve the computation of singular integrals (as opposed to the discretizations of boundary integral equations). Relations between these methods are discussed. In the null-field method, u in (2.2) is the solution of the Helmholtz equation in the exterior of a bounded obstacle, and v is one of a countable family of separable solutions of the Helmholtz equation in polar coordinates that satisfies the appropriate radiation condition. The main difference between the null-field method and the method in this paper are the following: (i) the former method is used for an exterior of an obstacle, whereas the current method is used for the interior of a polygon and (ii) in the null-field method the unknown boundary value is expanded in a global basis (i.e. one in which the support of the basis functions is the whole of ∂Ω), whereas the method in this paper uses local bases (where each basis function is supported only on one side of the polygon). Regarding the method of DeSanto, u in (2.2) is the solution of the Helmholtz equation above a periodic rough surface, and v is chosen to be one of a countable family of separable solutions of the Helmholtz equation in Cartesian coordinates (so-called generalized plane waves) that satisfies the appropriate radiation condition.

Результаты (русский) 1:

Понял, после работы, глобальных отношений может быть решена численно. В этом направлении, были получены различные числовые методы несколько авторов, например здесь, следующие Fornberg и коллеги, мы используем основу Лежандра и также overdetermine соответствующей системы; Кроме того руководствуясь результаты, мы представляем простой выбор «словосочетание» точек. Этот выбор предполагает положительное число R и положительное целое число М; M является мерой overdeterminancy и R/M является расстояние между двумя точками подряд.Мы предоставляем сильный численного доказательства того, что если M и R соответствует ограничениям, учитывая уравнение затем условие количество связанные системы порядка 1. Например для трапециевидных домена, проанализированы в состоянии номер уменьшает от O(108) до 4,7.Мы далее обсудить отношения метода, представленных в настоящем документе с двумя другими методами для решения линейных эллиптических СРПО в литературе, которые также основаны на связь:(i) The null field method for the solution of the Helmholtz equation in the exterior of a bounded obstacle (originally introduced by Waterman in [25,26]) and (ii) a method for the solution of the Helmholtz equation above a periodic rough surface introduced by DeSanto and further developed by DeSanto and co-workers. The advantage of these two methods, as well as of the method described in this paper, is that they are boundary-based discretizations that do not involve the computation of singular integrals (as opposed to the discretizations of boundary integral equations). Relations between these methods are discussed. In the null-field method, u in (2.2) is the solution of the Helmholtz equation in the exterior of a bounded obstacle, and v is one of a countable family of separable solutions of the Helmholtz equation in polar coordinates that satisfies the appropriate radiation condition. The main difference between the null-field method and the method in this paper are the following: (i) the former method is used for an exterior of an obstacle, whereas the current method is used for the interior of a polygon and (ii) in the null-field method the unknown boundary value is expanded in a global basis (i.e. one in which the support of the basis functions is the whole of ∂Ω), whereas the method in this paper uses local bases (where each basis function is supported only on one side of the polygon). Regarding the method of DeSanto, u in (2.2) is the solution of the Helmholtz equation above a periodic rough surface, and v is chosen to be one of a countable family of separable solutions of the Helmholtz equation in Cartesian coordinates (so-called generalized plane waves) that satisfies the appropriate radiation condition.

Результаты (русский) 2:

Это реализуется с работы , что глобальные отношения могут быть решены численно. В этом направлении, различные численные методы, были получены несколькими авторами, смотри , например , здесь, следуя Fornberg и КОЛЛЕГЕ, мы используем базис Лежандра , а также overdetermine соответствующую систему; Кроме того , мотивировано результатами, мы вводим простой выбор точек "коллокационных". Этот выбор включает в себя положительное число R и натуральное число М; М является мерой overdeterminancy и R / M является расстояние между двумя последовательными точками. Мы предлагаем сильное численное доказательство того, что если М и R удовлетворяют ограничениям , заданной уравнением , то условие число соответствующей системы является порядка 1. Например, для домена трапециевидной анализируемого в количестве условие сводится от O (108) до 4.7. Далее мы обсудим связь метода , изложенного в данной работе с двумя другими методами решения линейных эллиптических уравнений в частных производных в литературе , которые также основаны на соотношении: (I) метод нуль поля для решения уравнения Гельмгольца во внешности ограниченной препятствия (первоначально введенный Waterman в [25,26]) и (II) метод для решения уравнения Гельмгольца над периодическим Rough поверхность введена ДеСанто и дальнейшее развитие ДеСанто и его сотрудниками. Преимущество этих двух методов, а также метода , описанного в этой статье, является то , что они являются граничными на основе дискретизациях , которые не связаны вычисление сингулярных интегралов (в отличие от дискретизациям граничных интегральных уравнений). Отношения между этими методами обсуждаются. В методе нуль-поле, у (2.2) является решением уравнения Гельмгольца во внешности ограниченной препятствия, и v является одним из счетного семейства сепарабельных решений уравнения Гельмгольца в полярных координатах , что удовлетворяет соответствующее излучение состояние. Основное различие между методом нуль-поля и метод в данной работе , являются следующие: (I) первый метод используется для наружной препятствия, в то время как текущий метод используется для внутренней части полигона и (II) в методе нуль-поле неизвестная краевая расширяется в глобальном масштабе (то есть та , в которой поддержка базисных функций является вся дП), в то время как метод в данной статье используются локальные базы (где каждая базисная функция поддерживается только на одной стороне многоугольника). Что касается метода ДеСанто, у (2.2) является решением уравнения Гельмгольца над периодической шероховатой поверхностью, и v выбирается так, чтобы быть одним из счетного семейства сепарабельных решений уравнения Гельмгольца в декартовых координатах (так называемая обобщенная плоские волны) , которая удовлетворяет условию излучения соответствующее.