Methods based on Lie groups of poin

Methods based on Lie groups of point symmetries are indispensable for the systematic analysis, simplification and solution of differential equations. Lie's algorithm for calculating these groups is well known: the (otherwise intractable) symmetry condition is linearized to obtain an overdetermined system of linear homogeneous ‘determining equations’ for the group generators. However, the size and complexity of this system can make solving it impractical. (Consider that Maple 17's ‘Infinitesimals’ command, executed without ‘Hints’ on a contemporary high-end personal computer, can take over 4 h to determine the generators admitted by the system of three second-order linear ordinary differential equations (ODEs) in §5c.) This is the main reason why constraints on the Lie point symmetries of classes of differential equation are so useful; for example. In this paper, labour-saving constraints on the Lie point symmetry generators admitted by systems of linear differential equations are derived.
Prior knowledge of the form of Lie point symmetries can also lead to new symmetry methods. On page 476 of, Lie proves that if a (1+1)-dimensional second-order linear scalar partial differential equation (PDE) cannot be integrated using Monge's method,vits Lie point symmetries are affine bundle maps. In other words, they are projectable/fibre-preserving point transformations that are affine in the dependent variable at each point. Lie, whose proof actually applies to all contact symmetries, uses the result to integrate these equations systematically.
In §27 of , Ovsiannikov proves that for all the second-order linear scalar PDEs, Lie's algorithm determines generators of affine bundle map Lie point symmetries only, with one requirement (see page 183 of ): they cannot ‘degenerate’ in any set of independent variables into ODEs. Their Lie point symmetries are of course not all affine bundle maps; see, for example. This result is finally extended, without the need for additional hypotheses, to all higher order linear scalar ODEs and PDEs by Bluman in Theorems VI and VIII of (wherein the Lie point symmetry generators admitted by certain classes of quasi-linear scalar equations are also partially determined). As for linear systems, there does not appear to be an analogous result in the literature.
This paper applies to systems of linear ODEs and PDEs, in Kovalevskaya form and of order two or higher. Its purpose is to clarify the functional forms of the Lie point symmetry generators determined by Lie's algorithm. In particular, if Lie's algorithm determines a generator of non-affine bundle map Lie point symmetries, the system's general solution is constructed from the solutions to a given first-order system and scalar equation. The main conclusions are summarized in §2, with proofs and examples given in §§3–5, respectively.

Результаты (русский) 1:

Методы, основанные на лжи групп симметрий точки необходимы для систематического анализа, упрощение и решения дифференциальных уравнений. Ложь в алгоритм для расчета этих групп хорошо известно: состояние (в противном случае неразрешимой) симметрии линеаризации для получения Переопределённая системы линейных однородных «определяющих уравнений» для группы генераторов. Однако размер и сложность этой системы можно сделать решения непрактично. (Учтите, что клен 17 «Синтезировал» команды, выполненной без «Советы» на современном high-end персональный компьютер, может занять более 4 h для определения генераторов, признался в системе трех второго порядка линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в §5c.) Это основная причина, почему ограничения на ложь Точка симметрии классов дифференциального уравнения так полезны; к примеру. В этом документе экономящие труд ограничения на ложь Точка симметрии, которые являются производными генераторов, допускаемых систем линейных дифференциальных уравнений.Предварительное знание формы ложь Точка симметрии может также привести к новым методам симметрии. На странице 476, ложь доказывает что если (1 + 1)-мерной второго порядка линейного скалярных уравнения (PDE) не могут быть интегрированы с помощью метода Monge, vits ложь Точка симметрии аффинных комплект карт. Другими словами они проецируются/волокна сохранение точки преобразования, которые аффинных в зависимой переменной в каждой точке. Ложь, чьи доказательства фактически применяется к всех контактных симметрии, использует результат для систематически интегрировать эти уравнения.В §27 из, Овсянникова доказывает, что для всех второго порядка линейный скалярный СРПО, ложь в алгоритм определяет генераторов аффинных расслоение карты лежат точки симметрии только, с одним из требований (см. страницу 183): они не могут «перерасти» в любой набор независимых переменных в Одес. Их ложь Точка симметрии, конечно, не все аффинных комплект карт; см., например. Этот результат наконец удлинена, без необходимости дополнительные гипотезы, все более высокого порядка линейный скалярный оды и СРПО Bluman теоремы VI и VIII (где ложь Точка симметрии генераторов признал некоторых классов квазилинейных уравнений скалярных также частично определяются). Что касается линейных систем не представляется аналогичный результат в литературе.Этот документ относится к системам линейных оды и СРПО, в форме Ковалевской и порядка 2 или выше. Его цель заключается в прояснить функциональные формы ложь Точка симметрии генераторов определяется алгоритмом в ложь. В частности если ложь в алгоритм определяет генератор неаффинных расслоение карты ложь Точка симметрии, общее решение системы строится из решений данной системы первого порядка и скалярное уравнение. Основные выводы обобщены в §2, с доказательствами и примеры, приведенные в §§3-5, соответственно.

Результаты (русский) 2:

Методы , основанные на группах Ли точечных симметрий являются необходимыми для систематического анализа, упрощения и решения дифференциальных уравнений. Алгоритм Ли для вычисления этих групп хорошо известно: условие (иначе неразрешимой) симметрии линеаризуется для получения переопределенной системы линейных однородных уравнений " , определяющих" для генераторов группы. Тем не менее, размер и сложность этой системы может сделать решение нецелесообразным. (Учтите , что команда Maple - 17 'инфинитезималей', выполненный без "подсказки" на современном высокого класса персонального компьютера, может взять на 4 ч , чтобы определить , генераторы , допускаемые системой линейных трех второго порядка обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в . §5c) Это основная причина , почему ограничения на точечных Ли симметрий классов дифференциального уравнения так полезны; например. В данной работе, трудосберегающие ограничения на точечных генераторов симметрии Ли , допускаемых систем линейных дифференциальных уравнений. Получены
предварительные знания о форме точечных симметрий Ли также может привести к появлению новых методов симметрии. На странице 476, Ли доказывает , что если (1 + 1) -мерное линейное скалярное уравнение в частных производных второго порядка (PDE) не могут быть интегрированы с использованием метода Монжа, Витс Ли точечных симметрий являются аффинные отображения расслоения. Другими словами, они являются Проектируемые / послойного точечных преобразований , которые являются аффинная в зависимой переменной в каждой точке. Ли, доказательство которой на самом деле относится ко всем контактным симметрий, использует результат для интеграции этих уравнений систематически.
В §27 из, Овсянников доказывает , что для линейных скалярных ФДЭ все второго порядка, алгоритм Ли определяет образующие только аффинного расслоения точечных отображение Ли симметрий , с одним требованием (см 183): они не могут "вырожденный" в любом наборе независимых переменных в ОДУ. Их Ли точечных симметрий, конечно , не все аффинные отображения пучка; смотри, например. Этот результат , наконец , расширен, без необходимости дополнительных гипотез, для всех линейных скалярных ОДУ высших порядков и ФДЭ по Bluman в теоремах VI и VIII части ( в которой генераторы точечной симметрии Ли , допускаемые некоторых классов квазилинейных скалярных уравнений также частично определяется). Что касается линейных систем, там не , как представляется, аналогичный результат в литературе. В
данной статье относится к системам линейных ОДУ и ФДЭ, в Ковалевской форме и порядка двух или выше. Его цель состоит в том, чтобы уточнить функциональные формы образующих симметрии точечных Ли , определяемых алгоритмом Ли. В частности, если алгоритм Ли определяет генератор без аффинных расслоения карта точек Ли симметрий, общее решение системы строится из решений данного первого порядка системы и скалярного уравнения. Основные выводы приведены в § 2, с доказательствами и примерами , приведенными в § 3-5, соответственно.