Integral representations for the so

Integral representations for the solution of linear elliptic partial differential equations (PDEs) can be obtained using Green's theorem. However, these representations involve both the Dirichlet and the Neumann values on the boundary, and for a well-posed boundary-value problem (BVPs) one of these functions is unknown. A new transform method for solving BVPs for linear and integrable nonlinear PDEs usually referred to as the unified transform (or the Fokas transform) was introduced by the second author in the late Nineties. For linear elliptic PDEs, this method can be considered as the analogue of Green's function approach but now it is formulated in the complex Fourier plane instead of the physical plane. It employs two global relations also formulated in the Fourier plane which couple the Dirichlet and the Neumann boundary values. These relations can be used to characterize the unknown boundary values in terms of the given boundary data, yielding an elegant approach for determining the Dirichlet to Neumann map. The numerical implementation of the unified transform can be considered as the counterpart in the Fourier plane of the well-known boundary integral method which is formulated in the physical plane. For this implementation, one must choose (i) a suitable basis for expanding the unknown functions and (ii) an appropriate set of complex values, which we refer to as collocation points, at which to evaluate the global relations. Here, by employing a variety of examples we present simple guidelines of how the above choices can be made. Furthermore, we provide concrete rules for choosing the collocation points so that the condition number of the matrix of the associated linear system remains low.

Результаты (русский) 1:

Интегральные представления для решения линейных эллиптических уравнений в частных производных (СРПО) можно получить с помощью теорема Грина. Однако эти представления связаны Дирихле и Неймана значения на границе, и на четко поставленный краевая задача (фирма) одной из этих функций неизвестна. Новый метод transform для нее для решения линейных и интегрируемые нелинейные УРЧП, обычно называют единой преобразование (или преобразования Fokas) был представлен второй автор в конце девяностых. Для линейных эллиптических СРПО этот метод можно рассматривать как аналог подход функция Грина, но теперь она формулируется в плоскости комплекс Фурье вместо физической плоскости. Он использует два глобальных отношений, также сформулировано в плоскости Фурье, которые пара Дирихле и Неймана граничных значений. Эти отношения может использоваться для характеризуют неизвестные граничные значения с точки зрения данной границы данных, приносит элегантный подход для определения Дирихле Неймана карту. Численное осуществление единой преобразования может рассматриваться как аналог в плоскости Фурье интегрального метода известные границы, который формулируется в физической плоскости. Для этой реализации необходимо выбрать (i) подходящую основу для расширения неизвестные функции и (ii) соответствующий набор комплексных значений, которые мы называем коллокации точек, в которых для оценки глобальных отношений. Здесь используя целый ряд примеров мы представляем простые руководящие принципы как выше варианты могут быть сделаны. Кроме того мы предоставляем конкретные правила для выбора точки коллокации так что условие количество матрицы связано линейной системы остается низким.

Результаты (русский) 2:

Интегральные представления для решения линейных эллиптических уравнений с частными производными (ФДЭ) можно получить, используя теорему Грина. Тем не менее, эти представления включают значения как Дирихле и Неймана на границе, и для задачи хорошо поставленной краевой (КЗ) одна из этих функций неизвестна. Новый метод преобразования для решения КЗ для линейных и интегрируемых нелинейных уравнений с частными производными обычно называют унифицированный преобразование (или преобразование Fokas) была введена вторым автором в конце девяностых годов. Для линейных эллиптических уравнений с частными производными, этот метод можно рассматривать как аналог функции Грина подхода, но теперь она формулируется в комплексной плоскости Фурье вместо физической плоскости. Она использует две глобальные отношения также сформулированным в плоскости Фурье, пара Дирихле и Неймана граничные значения. Эти отношения могут быть использованы для характеристики неизвестных граничных значений в терминах заданных граничных данных, что дает изящный подход для определения Дирихле к Нейману карту. Численный реализация единой преобразования можно рассматривать как аналог в плоскости Фурье известной метода граничных интегральных который формулируется в физическом плане. Для реализации этого, нужно выбрать (I) подходящую основу для расширения неизвестных функций и (б) соответствующий набор комплексных значений, которые мы называем точками коллокации, при котором для оценки глобальных отношений. Здесь, используя различные примеры мы приводим простые рекомендации о том, как вышеуказанные варианты могут быть сделаны. Кроме того, мы предлагаем конкретные правила выбора точек коллокации, так что условие число матрицы соответствующей линейной системы остается на низком уровне.

Результаты (русский) 3:

неотъемлемой частью представления на решения линейных эллиптических частичное дифференциальных уравнений (српо) можно получить, используя теорема грина.однако эти сообщения связаны с дирихле и неймана ценностей на границе и на хорошо представляют краевая задача (bvps) одну из этих функций, неизвестно.новый изменить способ решения bvps для линейных и нелинейных српо интегрируемых обычно называют единой преобразования (или fokas преобразования) был представлен второй автор в конце 90 - х.для линейных эллиптических српо, этот метод может рассматриваться как аналог функция грина подход, но теперь она сформулирована в сложных фурье самолет вместо физического плана.он использует два глобальных отношений также сформулированы в фурье плоскости, которая пары дирихле и неймана границы значений.эти отношения могут быть использованы для характеристики неизвестный границы ценности с точки зрения с учетом границ данных, в результате чего изящный подход для определения дирихле для нейман карту.цифровые осуществление единого преобразования могут рассматриваться в качестве партнера в фурье плоскости известный границы единой метод, который сформулирован в физическом плане.за ее осуществление, приходится выбирать (я) подходящей основой для расширения неизвестными функциями и ii) соответствующий набор сложных ценностей, которые мы называем словосочетание, моментов, на которых для оценки глобальных отношений.здесь, используя различные примеры мы представляем простых руководящих принципов, как выше выбор может быть сделан.кроме того, мы предлагаем конкретные нормы для выбора словосочетание моменты, с тем, что состояние ряда матрицу с линейной системы остается низким.