In most of the work above, either e

In most of the work above, either elliptic or diffusion models in the bulk have been coupled to surface-elliptic or surface-diffusion or surface-reaction–diffusion models posed on the surface through Robin-type boundary conditions [5,6,11–14,16]. Here, our focus is to couple systems of reaction–diffusion equations posed both in the bulk and on the surface, setting a mathematical and computational framework to study more complex interactions such as those observed in cell biology, tissue engineering and regenerative medicine, developmental biology and biopharmaceuticals. We employ the bulk-surface finite-element method as introduced by Elliott & Ranner in [10] to numerically solve the coupled system of bulk-surface reaction–diffusion equations (BSRDEs). Details of the surface-finite-element can be found in reference. The bulk and surface reaction–diffusion systems are coupled through Robin-type boundary conditions. Details of the coupled bulk-surface finite-element method can be found in; the finite element algorithm is implemented in deall II.

The key contributions of our work to the theory of pattern formation are:

— we derive and prove Turing diffusion-driven instability conditions for a coupled system of BSRDEs;

— using the bulk-surface finite-element method, we approximate the solution to the model system within the bulk and on the boundary surface of a sphere of radius one;

— our results show that if the surface-reaction–diffusion system has the long-range inhibition, short-range activation form and the bulk-reaction–diffusion system has equal diffusion coefficients, then the surface-reaction–diffusion system can induce patterns in the bulk close to the surface and no patterns form in the interior, far away from the surface;

— on the other hand, if the bulk-reaction–diffusion system has the long-range inhibition, short-range activation form and the surface-reaction–diffusion system has equal diffusion coefficients, then the bulk-reaction–diffusion system can induce pattern formation on the surface;

— furthermore, we prove that if the bulk and surface reaction–diffusion systems have equal diffusion coefficients, no patterns form; and

— these theoretical predictions are supported by numerical simulations.

Результаты (русский) 1:

В большинстве стран работа выше, либо эллиптической или моделей диффузии в объеме был связан с поверхности эллиптические или поверхности диффузии или поверхности реакции диффузии модели, заданные на поверхности через Робин типа граничных условий [5,6,11-14,16]. Здесь наше внимание является пара систем уравнения реакции диффузии, заданные как навалом, так и на поверхности, Настройка математические и вычислительные платформы для изучения более сложных взаимодействий, например теми, которые наблюдались в клеточной биологии, ткани инженерных и регенеративной медицины и биологии развития биофармацевтики. Мы используем метод конечных элементов оптом поверхности, представленный Эллиотт и раннер в [10] численно решить связанной системы уравнения реакции диффузии оптом поверхности (BSRDEs). Подробная информация о поверхности элементной можно найти в справочнике. Основная и поверхности реакции диффузии системы соединены через Робин типа граничных условий. Подробная информация о сочетании метода конечных элементов оптом поверхности можно найти в; в deall II реализован алгоритм методом конечных элементов.Ключевой вклад нашей работы по теории формирования шаблона являются:— Мы наследовать и доказать Тьюринга driven распространения нестабильности условий для связанной системы BSRDEs;— Мы с использованием метода конечных элементов оптом поверхности, приближенное решение модель системы в основную и на поверхности границы сферы радиуса;— Наши результаты показывают, что если поверхности реакции диффузии системы дальней ингибирование, ближней активации формы и системы оптом реакции диффузии имеет равные диффузии коэффициенты, а затем поверхности реакции диффузии системы может вызвать шаблоны навалом близко к поверхности и не шаблонов форм в интерьере, далеко от поверхности;— с другой стороны, если основная реакции диффузии системы дальней ингибирование, ближней активации формы и системы поверхности реакции диффузии имеет равных диффузии коэффициенты, то основная реакции диффузии системы может вызывать образование узор на поверхности;— Кроме того, мы доказываем что если сыпучих и поверхности реакции диффузии систем коэффициенты диффузии равных, не имеют шаблоны формы; и— Эти теоретические предсказания поддерживаются численного моделирования.

Результаты (русский) 2:

В большинстве работ выше, либо эллиптические или диффузионные модели в объеме были в сочетании с поверхностно-эллиптические или поверхностной диффузии или поверхностно-реакция-диффузия моделей создает на поверхности через граничные условия Робин типа [5,6,11- 14,16]. Здесь наше внимание сосредоточено на пару систем уравнений реакции-диффузии , создаваемых как в объеме , так и на поверхности, установка математическая и вычислительная база для изучения более сложных взаимодействий , таких как наблюдаемых в клеточной биологии, тканевой инженерии и регенеративной медицины, биологии развития и биофармацевтических. Мы используем объемной поверхности метод конечных элементов , как введенный Elliott & Ranner в ​​[10] для численного решения системы уравнений объемной поверхности уравнений реакции-диффузии (BSRDEs). Подробная информация о поверхности-конечных элементов можно найти в ссылке. Системы реакции-диффузии объемные и поверхностные связаны через граничные условия Робин типа. Подробная информация о сопряженной объемной поверхности методом конечных элементов можно найти в; алгоритм конечных элементов реализуется в deall II. Основные вклады нашей работы в теории формирования рисунка являются: - мы получаем и доказать Тьюринга диффузии управляемых условий неустойчивости для связанной системы BSRDEs; - использование объемной поверхности конечномер метод конечных элементов, мы приближаем решение модельной системы в объеме и на границе поверхности сферы радиуса одного, - наши результаты показывают , что если система поверхностно-реакция-диффузия имеет ингибирование дальний, ближний активации форма и система объемной реакции-диффузии имеет равные коэффициенты диффузии, то система поверхностно-реакция-диффузия может индуцируют модели в объеме близко к поверхности , так и шаблоны не образуют в интерьере, далеко от поверхности, - с другой стороны рука, если система объемной реакции-диффузии имеет торможение дальнего радиуса действия , формы активации малого радиуса действия и систему поверхностно-реакция-диффузия имеет равные коэффициенты диффузии, то система объемной реакции-диффузии может вызвать образование узор на поверхности ; - более того, мы докажем , что если объемные и поверхностные системы реакции-диффузии имеют равные коэффициенты диффузии, шаблоны не образуют; и - эти теоретические предсказания подтверждаются численным моделированием.

Результаты (русский) 3:

в большинстве работы выше, либо эллиптических или распространению в массовых моделей были в сочетании с поверхности эллиптических или поверхностная диффузия или поверхность, реакция – распространение модели создает на поверхности посредством робин типа граничных условий [5,6,11 – 14,16].здесь наше внимание сосредоточено на нескольких систем реагирования – распространение уравнений, исходящей как в основной, и на поверхности, создавая математических и вычислительных основу для изучения более сложных взаимодействий, как это наблюдалось в клеточной биологии, ткани, инженерии и регенеративной медицины, биологии развития и биопрепаратов.мы используем часть поверхности finite-element метод, представленный эллиотт & ranner в [10] по численно решить в сочетании системы массовых поверхности реакции – распространение уравнений (bsrdes).детали поверхности конечных элементов можно найти в ссылку.большую часть поверхности реакции – распространения систем и в сочетании с помощью робин типа граничных условий.подробная информация о сочетании часть поверхности finite-element метод можно найти в; конечных элементов алгоритм осуществляется в deall II.основные взносы в нашей работе по теории схеме образования являются:- мы получаем и доказать, что тьюринг распространения нестабильности условий на сочетании системы bsrdes;- с помощью массовых поверхности finite-element метода мы примерные решения модель системы в массовых и на границе поверхность сферы радиусом один;- наши результаты показывают, что если поверхность реакции – распространение системы торможения на большие расстояния, малой формы и основная реакция – активизации распространения системы имеет равные коэффициентов диффузии, затем поверхности реакции – распространение системы могут вызвать в массовых моделей близко к поверхности, и нет модели формы во внутренних районах, далеко от поверхности;- с другой стороны, если основная реакция – распространение системы торможения на большие расстояния, малой формы и поверхности активации системы реагирования, распространению равного коэффициентов диффузии, то основная реакция – распространение системы может привести к схеме формирования на поверхности;- кроме того, мы докажем, что если объемная и поверхностных реакции – распространения систем имеют равные коэффициентов диффузии, нет моделей форме; и- этих теоретических предсказаний поддерживаются численное моделирование.