Having now recalled to mind the gen

Having now recalled to mind the general importance of problems in mathematics, let us turn to the question from what sources this science derives its problems. Surely the first and oldest problems in every branch of mathematics spring from experience and are suggested by the world of external phenomena. Even the rules of calculation with integers must have been discovered in this fashion in a lower stage of human civilization, just as the child of today learns the application of these laws by empirical methods. The same is true of the first problems of geometry, the problems bequeathed us by antiquity, such as the duplication of the cube, the squaring of the circle; also the oldest problems in the theory of the solution of numerical equations, in the theory of curves and the differential and integral calculus, in the calculus of variations, the theory of Fourier series and the theory of potential—to say nothing of the further abundance of problems properly belonging to mechanics, astronomy and physics.
But, in the further development of a branch of mathematics, the human mind, encouraged by the success of its solutions, becomes conscious of its independence. It evolves from itself alone, often without appreciable influence from without, by means of logical combination, generalization, specialization, by separating and collecting ideas in fortunate ways, new and fruitful problems, and appears then itself as the real questioner. Thus arose the problem of prime numbers and the other problems of number theory, Galois's theory of equations, the theory of algebraic invariants, the theory of abelian and automorphic functions; indeed almost all the nicer questions of modern arithmetic and function theory arise in this way.
In the meantime, while the creative power of pure reason is at work, the outer world again comes into play, forces upon us new questions from actual experience, opens up new branches of mathematics, and while we seek to conquer these new fields of knowledge for the realm of pure thought, we often find the answers to old unsolved problems and thus at the same time advance most successfully the old theories. And it seems to me that the numerous and surprising analogies and that apparently prearranged harmony which the mathematician so often perceives in the questions, methods and ideas of the various branches of his science, have their origin in this ever-recurring interplay between thought and experience.

Результаты (русский) 1:

Вспомнив теперь напоминает общее значение проблем в области математики, давайте повернуть к вопросу из каких источников эта наука наследует свои проблемы. Конечно, первый и старые проблемы в каждой отрасли математики весны от опыта и предложены мир внешних явлений. Даже правила вычисления с целыми числами должны были обнаружены в этой моде в нижней стадии человеческой цивилизации, так же, как ребенок сегодня узнает применение этих законов путем эмпирических методов. То же самое верно в отношении первых проблем геометрии, проблемы завещаны нам древности, таких, как дублирование Куба, квадратуры круга; также старые проблемы в теории решения численных уравнений, в теории кривых и дифференциального и интегрального исчисления, в Вариационное исчисление, теории рядов Фурье и теории потенциала — не говоря еще множество проблем должным образом принадлежащих к механике, астрономии и физики.Но в дальнейшем развитии отрасли математики, человеческий разум, Воодушевленные успехом его решений становится осознает свою независимость. Он развивается от себя самостоятельно, часто без заметного влияния без, с помощью логической комбинации, обобщения, специализация, путем разделения и сбора идей повезло образом, новые и плодотворные проблемы и тогда сам появляется как реальная спрашивающего. Таким образом, возникает проблема простых чисел и других проблем теории чисел, Галуа в теории уравнений, теория алгебраических инвариантов, Абелян и автоморфных функций; действительно, почти все приятнее вопросы современной теории арифметики и функции возникают таким образом.Тем временем, в то время как творческая сила чистого разума на работе, внешний мир снова вступает в игру, силы на нас новые вопросы фактического опыта, открывает новые ветви математики, и хотя мы стремимся завоевать эти новые области знаний для области чистой мысли, мы часто находим ответы на старые нерешенные проблемы и таким образом в же время advance наиболее успешно старых теорий. И мне кажется, что многочисленные и удивительные аналогии и что видимо заранее гармония, которую математик так часто воспринимает вопросы, методы и идеи различных отраслей его науки, имеют свое происхождение в этом постоянно повторяющиеся взаимодействия между мыслью и опытом.

Результаты (русский) 2:

После того, помнится общее значение проблем в области математики, давайте обратимся к вопросу , из каких источников эта наука выводит свои проблемы. Конечно , первые и самые старые проблемы в каждой отрасли математики весной из опыта и навеяны миром внешних явлений. Даже правила вычисления с целыми числами должны были обнаружены в этой моде на низшей ступени человеческой цивилизации, подобно тому , как ребенок учится сегодня применение этих законов эмпирических методов. То же самое можно сказать и о первых задач геометрии, проблемы завещал нам древности, такие как дублирование куба, квадратуры круга; также самые старые проблемы в теории решения численных уравнений, в теории кривых и дифференциального и интегрального исчисления, в вариационного исчисления, теории рядов Фурье и теории потенциала, не говоря уже о дальнейшем изобилии проблем правильно принадлежности к механике, астрономии и физике.
Но, в дальнейшем развитии отрасли математики, человеческий разум, вдохновленный успехом своих решений, начинает осознавать свою независимость. Она развивается из себя в одиночку, часто без заметного влияния извне, с помощью логической комбинации, обобщения, специализации, путем отделения и сбора идей в благополучных путей, новых и плодотворных проблем, и появляется затем себя , как настоящий спрашивающего. Таким образом , возникла проблема простых чисел и других задач теории чисел, теории Галуа уравнений, теории алгебраических инвариантов, теории абелевых и автоморфных функций; На самом деле почти все более хорошие вопросы современной арифметики и теории функций возникают таким образом.
В то же время, в то время как творческая сила чистого разума на работе, внешний мир снова вступает в игру, силы на нас новые вопросы из реального опыта, открывает до новых областей математики, и в то время как мы стремимся покорить эти новые области знания для области чистого мышления, мы часто находим ответы на старые нерешенные проблемы и , таким образом , в то же время наиболее успешно заранее старых теорий. И мне кажется , что многочисленные и удивительные аналогии и , что , по- видимому условный гармония , которую математик так часто воспринимает в вопросах, методов и идей различных отраслей своей науки, имеют свое происхождение в этой постоянно повторяющейся взаимосвязи между мыслью и опытом ,