Theorem 9.1Algorithm broadcast term

Theorem 9.1

Algorithm broadcast terminates in a bounded number of steps.

Proof: Let c0,c1,c2,…,cm−1 denote the m channels in the network. Consider the following variant function that is a tuple of sets:

Y  V0,V1,V2,…,Vn1,c 0,c1,c 2,…,cm1 

Initially, Y = (s(0), s(1), s(2),…, s(n−1), ∅, ∅, ∅,…,∅). After each execution of statement 1 by an eligible process, the content of some channel (in the second part of Y) grows in size. After the execution of statement 2 by some eligible process k, the set Vk (in the first part of Y) grows in size and all the input channels of process k become null. In either case, whenever an eligible process executes an action, the value of the Y grows in the lexicographic order. This growth is bounded since by Lemma 9.2, finally, Vi = {s(k): 0 ≤ k ≤ n − 1} holds. Therefore, the algorithm terminates in a bounded number of steps. ◾

The worst-case message complexity can be computed as follows: a process i sends some- thing out only when Vi changes. Starting from the initial value s(i), Vi can change at most (n−1) times. Also, since each node can have at most (n−1) neighbors, each execution of statement 1 sends at most (n−1) messages. Thus, a process can send at most (n−1)2 mes- sages. So the message complexity is O(n2) per process or O(n3) for the entire system.

Результаты (русский) 2:

Теорема 9.1

Алгоритм широковещательный завершается в ограниченном числе шагов.

Доказательство: Пусть с0, с1, с2, ..., см-1 обозначают м каналов в сети. Рассмотрим следующую функцию вариант , который является кортежем множеств:

Y  V0, V1, V2, ..., Vn1, с 0, c1, с 2, ..., cm1 

Первоначально Y = (s (0) , с (1), s (2), ..., s (N-1), ∅, ∅, ∅, ..., ∅). После каждого исполнения заявления 1 по правомочного процесса, содержание какого - либо канала (во второй части Y) увеличивается в размерах. После выполнения утверждения 2 по некоторым имеющего право процесса к, то множество Vk (в первой части Y) увеличивается в размерах и все входные каналы процесса к утратившими. В любом случае, всякий раз , когда право процесс выполняет действие, значение Y растет в лексикографическом порядке. Этот рост ограничен , так как по лемме 9.2, наконец, Vi = {s (к): 0 ≤ K ≤ N - 1} имеет место. Таким образом, алгоритм завершается в ограниченном числе шагов. ◾

наихудшего случая сложности сообщений может быть вычислено следующим образом : процесс я посылает нечто только тогда , когда изменения Vi. Начиная от начального значения с (I), Vi может измениться в большинстве (N-1) раз. Кроме того , поскольку каждый узел может иметь не более (п-1) соседи, каждое исполнение заявления 1 посылает в большинстве (N-1) сообщений. Таким образом, процесс может посылать в большинстве (N-1) 2 сообще- мудрецов. Таким образом , сложность сообщение O (n 2) для каждого процесса или O (n3) для всей системы.

Результаты (русский) 3:

теорема 9.1алгоритм вещание заканчивается в замкнутое ряд мер.доказательства: пусть C0, с1, с2,..., см - 1 обозначения M - каналов в сети.рассмотреть следующий вариант функция, которая является кортеж наборов:Y " v0, V1, V2,..., в.н. - 1, 0, 1, с - 2 - 1 , см.первоначально, y = ((0), S (1), (2), S (N - 1), ли, ли, ли, ли).после каждого исполнения заявление 1 соответствующего процесса, содержание некоторых канал (во второй части y) растет в размерах.после выполнения заявление 2 некоторые право процесса K, набор вк (в первой части y) растет в размерах и всех входных каналов процесс K становится недействительным.в любом случае, когда право процесса осуществляет меры, величина y растет в lexicographic порядка.этот рост является ограниченной, поскольку в силу лемма 9.2, наконец, VI = {S (k): 0 ≤ к ≤ n - 1} проводит.таким образом, алгоритм прекращается в замкнутое ряд мер.◾худший сообщение сложность может рассчитываться следующим образом: процесс, я отправил несколько - вещь, только когда VI изменений.начиная от первоначального значения S (я), VI может измениться в большинстве (N - 1).также, поскольку каждый узел может иметь максимум (N - 1), соседи, каждое исполнение заявление 1 отправляет в большинстве (N - 1) сообщения.таким образом, процесс может отправить на большинстве (N - 1) 2 мчс - мудрецов.это послание, сложность - O (N2) на процесс или O (N3) для всей системы.