It has been realized since the work

It has been realized since the work of that the global relations can be solved numerically. In this direction, different numerical techniques have been derived by several authors, see e.g. Here, following Fornberg and co-worker, we use the Legendre basis and also overdetermine the relevant system; furthermore motivated by the results of, we introduce a simple choice of ‘collocation’ points. This choice involves the positive number R and the positive integer M; M is a measure of overdeterminancy and R/M is the distance between two consecutive points.

We provide strong numerical evidence that if M and R satisfy the constraints given by equation then the condition number of the associated system is of order 1. For example, for the trapezoidal domain analysed in the condition number reduces from O(108) to 4.7.

We next discuss the relation of the method presented in this paper with two other methods for solving linear elliptic PDEs in the literature which are also based on the relation:

(i) The null field method for the solution of the Helmholtz equation in the exterior of a bounded obstacle (originally introduced by Waterman and (ii) a method for the solution of the Helmholtz equation above a periodic rough surface introduced by DeSanto and further developed by DeSanto and co-workers. The advantage of these two methods, as well as of the method described in this paper, is that they are boundary-based discretizations that do not involve the computation of singular integrals (as opposed to the discretizations of boundary integral equations). Relations between these methods are discussed. In the null-field method, u in (2.2) is the solution of the Helmholtz equation in the exterior of a bounded obstacle, and v is one of a countable family of separable solutions of the Helmholtz equation in polar coordinates that satisfies the appropriate radiation condition. The main difference between the null-field method and the method in this paper are the following: (i) the former method is used for an exterior of an obstacle, whereas the current method is used for the interior of a polygon and (ii) in the null-field method the unknown boundary value is expanded in a global basis (i.e. one in which the support of the basis functions is the whole of ∂Ω), whereas the method in this paper uses local bases (where each basis function is supported only on one side of the polygon). Regarding the method of DeSanto, u in (2.2) is the solution of the Helmholtz equation above a periodic rough surface, and v is chosen to be one of a countable family of separable solutions of the Helmholtz equation in Cartesian coordinates (so-called generalized plane waves) that satisfies the appropriate radiation condition.

Результаты (русский) 1:

Понял, после работы, глобальных отношений может быть решена численно. В этом направлении, были получены различные числовые методы несколько авторов, например здесь, следующие Fornberg и коллеги, мы используем основу Лежандра и также overdetermine соответствующей системы; Кроме того руководствуясь результаты, мы представляем простой выбор «словосочетание» точек. Этот выбор предполагает положительное число R и положительное целое число М; M является мерой overdeterminancy и R/M является расстояние между двумя точками подряд.Мы предоставляем сильный численного доказательства того, что если M и R соответствует ограничениям, учитывая уравнение затем условие количество связанные системы порядка 1. Например для трапециевидных домена, проанализированы в состоянии номер уменьшает от O(108) до 4,7.Мы далее обсудить отношения метода, представленных в настоящем документе с двумя другими методами для решения линейных эллиптических СРПО в литературе, которые также основаны на связь:(i поля null метод для решения уравнения Гельмгольца в экстерьере ограниченная препятствие (первоначально представленный Уотерман и (ii) метода для решения уравнения Гельмгольца выше периодических шероховатую поверхность представлена ДеСанто и дальнейшее развитие, ДеСанто и сотрудниками. Преимущество этих двух методов, а также метода, описанного в этом документе, что они на основе граничных дискретизацией, которые не связаны с вычислением сингулярных интегралов (в отличие от дискретизацией граничных интегральных уравнений). Отношения между этими методами, обсуждаются. В методе null поля u (2.2) является решение уравнения Гельмгольца в экстерьере ограниченная препятствие, и v является одним из Счетной семьи отделимые решений уравнения Гельмгольца в полярных координатах, который удовлетворяет условию, соответствующие излучения. Основное различие между null поля и метод в данном документе, являются следующие: (i бывший метод используется для наружных препятствием, тогда как текущий метод используется для внутренней части многоугольника и (ii) в методе null поля в глобальном масштабе расширяется неизвестного граничное значение (то есть один, в котором поддержка базисных функций является весь ∂Ω) , тогда как метод в этой статье использует местные базы (где каждая базисная функция поддерживается только на одной стороне многоугольника). Относительно метода ДеСанто u (2.2) является решение уравнения Гельмгольца выше периодических шероховатой поверхностью, и v выбирается один из Счетной семьи отделимые решений уравнения Гельмгольца в декартовых координатах (так называемых обобщенных плоских волн), который удовлетворяет условию, соответствующие излучения.

Результаты (русский) 2:

Это реализуется с работы , что глобальные отношения могут быть решены численно. В этом направлении, различные численные методы, были получены несколькими авторами, смотри , например , здесь, следуя Fornberg и КОЛЛЕГЕ, мы используем базис Лежандра , а также overdetermine соответствующую систему; Кроме того , мотивировано результатами, мы вводим простой выбор точек "коллокационных". Этот выбор включает в себя положительное число R и натуральное число М; М является мерой overdeterminancy и R / M является расстояние между двумя последовательными точками. Мы предлагаем сильное численное доказательство того, что если М и R удовлетворяют ограничениям , заданной уравнением , то условие число соответствующей системы является порядка 1. Например, для домена трапециевидной анализируемого в количестве условие сводится от O (108) до 4.7. Далее мы обсудим связь метода , изложенного в данной работе с двумя другими методами решения линейных эллиптических уравнений в частных производных в литературе , которые также основаны на соотношении: (I) метод нуль поля для решения уравнения Гельмгольца во внешности ограниченной препятствия (первоначально введенный Waterman и (II) метод для решения уравнения Гельмгольца над периодической шероховатой поверхностью , введенной ДеСанто и дальнейшее развитие по ДеСанто и сотрудниками. Преимущество этих двух методов, а также метода , описанного в этой статье, является то , что они являются граничными на основе дискретизациях , которые не связаны вычисление сингулярных интегралов (в отличие от дискретизаций границы интегральные уравнения). Отношения между этими методами обсуждаются. В методе нуль-поле, у (2.2) является решением уравнения Гельмгольца во внешности ограниченной препятствия, и v является одним из счетного семейства сепарабельных решений уравнения Гельмгольца в полярных координатах , что удовлетворяет соответствующее излучение состояние. Основное различие между методом нуль-поля и метод в данной работе , являются следующие: (I) первый метод используется для наружной препятствия, в то время как текущий метод используется для внутренней части полигона и (II) в методе нуль-поле неизвестная краевая расширяется в глобальном масштабе (то есть та , в которой поддержка базисных функций является вся дП), в то время как метод в данной статье используются локальные базы (где каждая базисная функция поддерживается только на одной стороне многоугольника). Что касается метода ДеСанто, у (2.2) является решением уравнения Гельмгольца над периодической шероховатой поверхностью, и v выбирается так, чтобы быть одним из счетного семейства сепарабельных решений уравнения Гельмгольца в декартовых координатах (так называемая обобщенная плоские волны) , которая удовлетворяет условию излучения соответствующее.

Результаты (русский) 3:

она была реализована, поскольку работа, что глобальных отношений может быть решена численно.в этом направлении, различные числовые методы были получены несколькими авторами, см., например, здесь после fornberg и коллега, мы используем лежандр основе, а также overdetermine соответствующие системы; кроме того, с учетом результатов, мы представляем простой выбор "словосочетание" точек.этот выбор предполагает позитивное номер R и положительным числом м; м - это мера overdeterminancy и р / м - расстояние между двумя подряд очков.мы решительно количественные данные, что если м и R удовлетворяют трудности с уравнение тогда состояние ряда сопутствующих система порядка 1.например, в области анализа в состоянии ряда вместимостью сокращает с O (108) до 4,7.далее мы обсудить связь метод, представленные в настоящем документе, в двух других методов для решения линейных эллиптических српо в литературе, которая также основаны на связи:i) недействительным области метод решения о уравнение гельмгольца в экстерьер ограниченной препятствием (первоначально представленного нам, и ii) метод решения о уравнение гельмгольца выше периодической шероховатостей, представленный desanto и развиваются desanto и коллег.преимущество этих двух методов, а также методом, описанным в настоящем документе, заключается в том, что они являются границы на основе discretizations, не предполагают расчет исключительно интегралов (в отличие от discretizations пограничных интегральных уравнений).отношения между этими методами рассматриваются.в юридической области метод, u (2.2) решения о уравнение гельмгольца в экстерьер ограниченной препятствием и V - одна из счётное семьи разделить решения о уравнение гельмгольца в полярных координатах, который удовлетворяет надлежащие условия излучения.основное различие между законной области метод и метод в этом документе, являются следующие: i) бывшей метод используется для экстерьера препятствием, в то время как нынешний метод используется для интерьера полигон и ii) в области методов не неизвестного краевая расширяется в глобальном масштабе (например, в котором поддержку основе функций является вся ∂Ω), в то время как метод в этом документе использует местных баз (где каждый базисная функция поддерживает только с одной стороны полигона).в отношении метода desanto, u (2.2) решения о уравнение гельмгольца выше периодической шероховатостей, и V - выбрана одна из счётное семьи разделить решения совета уравнение гельмгольца в декартовы координаты (так называемая всеобщая самолет волны), который удовлетворяет надлежащие условия излучения.