The so-called global relations play

The so-called global relations play a crucial role in the construction of analytical solutions for both evolution and elliptic PDEs. For the Laplace, modified Helmholtz and Helmholtz equations, the global relations are equations (2.5), (2.7) and (2.9), respectively, as well as the equations obtained from these equations by taking the complex conjugate and then replacing λ¯λ¯ by λ. By employing the fact that λ is arbitrary, the global relations provide an elegant characterization of the Dirichlet to Neumann map.

It has been realized since the work of [16] that the global relations can be solved numerically. In this direction, different numerical techniques have been derived by several authors, see e.g. [13–21]. Here, following Fornberg and co-worker, we use the Legendre basis and also overdetermine the relevant system; furthermore motivated by the results of [21], we introduce a simple choice of ‘collocation’ points, see equation (4.8). This choice involves the positive number R and the positive integer M; M is a measure of overdeterminancy and R/M is the distance between two consecutive points.

We provide strong numerical evidence that if M and R satisfy the constraints given by equation (4.9) then the condition number of the associated system is of order 1. For example, for the trapezoidal domain analysed in [14,15] the condition number reduces from O(108) to 4.7.

We next discuss the relation of the method presented in this paper with two other methods for solving linear elliptic PDEs in the literature which are also based on the relation (2.2):

(i) The null field method for the solution of the Helmholtz equation in the exterior of a bounded obstacle (originally introduced by Waterman in [25,26]) and (ii) a method for the solution of the Helmholtz equation above a periodic rough surface introduced by DeSanto [27] and further developed by DeSanto and co-workers [28–31]. The advantage of these two methods, as well as of the method described in this paper, is that they are boundary-based discretizations that do not involve the computation of singular integrals (as opposed to the discretizations of boundary integral equations). Relations between these methods are discussed in detail in [32], §10 and [33], §4. In the null-field method, u in (2.2) is the solution of the Helmholtz equation in the exterior of a bounded obstacle, and v is one of a countable family of separable solutions of the Helmholtz equation in polar coordinates that satisfies the appropriate radiation condition (see, e.g. [34], §7.5). The main difference between the null-field method and the method in this paper are the following: (i) the former method is used for an exterior of an obstacle, whereas the current method is used for the interior of a polygon and (ii) in the null-field method the unknown boundary value is expanded in a global basis (i.e. one in which the support of the basis functions is the whole of ∂Ω), whereas the method in this paper uses local bases (where each basis function is supported only on one side of the polygon). Regarding the method of DeSanto, u in (2.2) is the solution of the Helmholtz equation above a periodic rough surface, and v is chosen to be one of a countable family of separable solutions of the Helmholtz equation in Cartesian coordinates (so-called generalized plane waves) that satisfies the appropriate radiation condition.

Результаты (русский) 1:

Так называемых глобальных отношений играют решающую роль в строительстве аналитических решений для эволюции и эллиптических УРЧП. Для Лапласа, изменение Гельмгольца и Гельмгольца уравнения, глобальных отношений являются уравнения (2,5), (2.7) и (2.9), соответственно, а также уравнений, полученных из этих уравнений, принимая сложный конъюгат и затем заменить λ¯λ¯ на λ. Применяя тот факт что λ является произвольным, глобальных отношений обеспечивают элегантный характеристика Дирихле Неймана карту.Он был реализован с работы [16] что глобальных отношений может быть решена численно. В этом направлении различные числовые методы были получены несколько авторов, увидеть например [13-21]. Здесь, после Fornberg и коллеги, мы используем основу Лежандра и также overdetermine соответствующей системы; Кроме того, руководствуясь результатами [21], мы представить простой выбор точек «словосочетание», см. уравнение (4.8). Этот выбор предполагает положительное число R и положительное целое число М; M является мерой overdeterminancy и R/M является расстояние между двумя точками подряд.Мы предоставляем сильный численного доказательства того, что если M и R соответствует ограничениям, учитывая уравнением (4,9) то условие количество связанные системы порядка 1. Например для трапециевидных домена, проанализированных в [14,15] условие номер уменьшает от O(108) до 4,7.Далее мы обсудим отношения метода, представленных в настоящем документе с двумя другими методами для решения линейных эллиптических СРПО в литературе, которые также основаны на связь (2.2):(i) поля null метод для решения уравнения Гельмгольца в экстерьере ограниченная препятствие (первоначально представленный Waterman в [25,26]) и (ii) метода для решения уравнения Гельмгольца выше периодических шероховатую поверхность представлена ДеСанто [27] и дальнейшее развитие, ДеСанто и сотрудниками [28-31]. Преимущество этих двух методов, а также метода, описанного в этом документе, что они на основе граничных дискретизацией, которые не связаны с вычислением сингулярных интегралов (в отличие от дискретизацией граничных интегральных уравнений). Отношения между этими методами, обсуждаются подробно [32], §10 и [33], §4. В методе null поля, u (2.2) является решение уравнения Гельмгольца в экстерьере ограниченная препятствие, и v является одним из Счетной семьи отделимые решений уравнения Гельмгольца в полярных координатах, который удовлетворяет условию, соответствующие излучения (см., например [34], §7.5). Основное различие между null поля и метод в данном документе, являются следующие: (i бывший метод используется для наружных препятствием, тогда как текущий метод используется для внутренней части многоугольника и (ii) в методе null поля в глобальном масштабе расширяется неизвестного граничное значение (то есть один, в котором поддержка базисных функций является весь ∂Ω) , тогда как метод в этой статье использует местные базы (где каждая базисная функция поддерживается только на одной стороне многоугольника). Относительно метода ДеСанто u (2.2) является решение уравнения Гельмгольца выше периодических шероховатой поверхностью, и v выбирается один из Счетной семьи отделимые решений уравнения Гельмгольца в декартовых координатах (так называемых обобщенных плоских волн), который удовлетворяет условию, соответствующие излучения.

Результаты (русский) 2:

Так называемые глобальные отношения играют решающую роль при построении аналитических решений как для эволюции и эллиптических уравнений с частными производными. Для Лапласа, модифицированных уравнений Гельмгольца и Гельмгольца, глобальные отношения являются уравнения (2.5), (2.7) и (2.9), соответственно, а также уравнения , полученные из этих уравнений путем комплексного сопряжения , а затем заменить ЛЛ на А. Используя тот факт , что λ является произвольным, глобальные отношения обеспечивают элегантный характеристику Дирихле к Нейману карте. Это реализуется с работой [16] , что глобальные отношения могут быть решены численно. В этом направлении, различные численные методы, были получены несколькими авторами, см , например , [13-21]. Здесь, следуя Fornberg и сослуживцу, мы используем базис Лежандра , а также overdetermine соответствующую систему; Кроме того , мотивировано результатами [21], мы вводим простой выбор точек '' коллокационных см уравнение (4.8). Этот выбор включает в себя положительное число R и натуральное число М; М является мерой overdeterminancy и R / M является расстояние между двумя последовательными точками. Мы предлагаем сильное численное доказательство того, что если М и R удовлетворяют ограничениям , заданной уравнением (4.9) , то условие число соответствующей системы составляет порядка 1. Например, для домена трапециевидной проанализированы в [14,15] условие число уменьшается от O (108) до 4.7. Далее мы обсудим связь метода , изложенного в данной работе с двумя другими методами для решения линейных эллиптических уравнений в частных производных в литературе которые также основаны на соотношении (2.2): (I) метод нуль поля для решения уравнения Гельмгольца во внешности ограниченной препятствия (первоначально введенный Waterman в [25,26]) и (II) метод для решения уравнения Гельмгольца над периодической шероховатой поверхностью , введенной ДеСанто [27] и дальнейшее развитие ДеСанто и сотрудниками [28-31]. Преимущество этих двух методов, а также метода , описанного в этой статье, является то , что они являются граничными на основе дискретизациях , которые не связаны вычисление сингулярных интегралов (в отличие от дискретизациям граничных интегральных уравнений). Отношения между этими методами подробно обсуждаются в [32], §10 и [33], § 4. В методе нуль-поле, у (2.2) является решением уравнения Гельмгольца во внешности ограниченной препятствия, и v является одним из счетного семейства сепарабельных решений уравнения Гельмгольца в полярных координатах , что удовлетворяет соответствующее излучение состояние (см, например , [34], §7.5). Основное различие между методом нуль-поля и метод в данной работе , являются следующие: (I) первый метод используется для наружной препятствия, в то время как текущий метод используется для внутренней части полигона и (II) в методе нуль-поле неизвестная краевая расширяется в глобальном масштабе (то есть та , в которой поддержка базисных функций является вся дП), в то время как метод в данной статье используются локальные базы (где каждая базисная функция поддерживается только на одной стороне многоугольника). Что касается метода ДеСанто, у (2.2) является решением уравнения Гельмгольца над периодической шероховатой поверхностью, и v выбирается так, чтобы быть одним из счетного семейства сепарабельных решений уравнения Гельмгольца в декартовых координатах (так называемая обобщенная плоские волны) , которая удовлетворяет условию излучения соответствующее.