For systems of linear ODEs and PDEs

For systems of linear ODEs and PDEs, of order two or higher and in Kovalevskaya form, this paper establishes labour-saving constraints on the generators determined by Lie's algorithm. Using any given generator of non-affine bundle map Lie point symmetries (as determined by Lie's algorithm), the general solution was constructed from the solutions to a given first-order system and scalar equation. For any number of dependent variables, examples of linear systems with these generators can be found easily by solving (4.7) and (4.8), or the constraints listed in remark 4.5. Theorem 2.2 implies a practical way to avoid such systems: ensure that a linear scalar second-order ODE cannot be extracted from (2.1). This is a necessary but not sufficient condition for Lie's algorithm to return generators of non-affine bundle map Lie point symmetries, as the system u,xx=u, v,xx=0 shows.
If infinitesimal generators are made easier to compute, so are the corresponding group-invariant solutions. Broadbridge & Arrigo show in that by incorporating these solutions within generators admitted by linear scalar equations, additional ‘generations’ of group-invariant solutions can be obtained. In the light of theorems 2.1 and 2.2, the proof of this fact (theorem 1 in applies, with only trivial modifications, to the systems addressed herein.
Similar results to those discussed in this paper have already been proved for large classes of nonlinear scalar equations. For example, theorem 4.11 in Heredero & Olver, states that thespatial Lie point symmetries, i.e. those that do not alter time, of evolutionary-type PDEs are affine bundle maps. These are PDEs in which a derivative comprising at least one time derivative is equated to a differential function of only spatial derivatives. In §6 of , this result is generalized so the differential function may also depend on time derivatives, although only in the special case of one spatial variable.

Результаты (русский) 1:

Для систем линейного оды и СРПО, порядка 2 или выше и в форме Ковалевская, этот документ устанавливает трудосберегающих ограничения на генераторы, определяется алгоритмом ложь в. С помощью любого заданного генератора неаффинных расслоение карты ложь Точка симметрии (как определено алгоритмом ложь в), общее решение было построено от решений к данной системе первого порядка и скалярное уравнение. Для любого количества зависимых переменных Примеры линейных систем с этими генераторами можно найти легко, решая (4,7) и (4,8), или ограничений, перечисленных в замечание 4.5. Теорема 2.2 предполагает практический способ избежать таких систем: Убедитесь, что линейный скалярный ОДУ второго порядка не могут быть извлечены из (2.1). Это является необходимым, но недостаточным условием для алгоритма лежат в вернуться генераторов неаффинных расслоение карты ложь Точка симметрии, как системы u, xx = u, v, xx = 0 шоу.Если бесконечно генераторы легче вычислить, так являются соответствующие группы инвариантных решения. Бродбридж и Арриго шоу в том, что путем включения этих решений в рамках генераторов, допускаемых линейной скалярных уравнения, могут быть получены дополнительные «поколений» группы инвариантных решений. В свете теоремы 2.1 и 2.2, доказательство этого факта (теорема 1 в с применяется только тривиальные изменения, систем, рассмотрены здесь.Результаты, аналогичные тем, которые рассматривались в настоящем документе уже оказались для больших классов скалярных нелинейных уравнений. К примеру Теорема 4.11 в Heredero & Олвер, говорится, что thespatial ложь Точка симметрии, то есть те, которые не изменяют время, СРПО эволюционного типа аффинных комплект карт. Это СРПО, в которых производная, состоящий из по крайней мере один раз производная приравнивается к дифференциальной функции только пространственные производные. В § 6 из этот результат обобщается так дифференциальной функции также может зависеть время производные, хотя только в Специальный случай одной пространственных переменной.

Результаты (русский) 2:

Для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, порядка двух или выше , а также в форме Ковалевской, этот документ устанавливает трудосберегающие ограничения на генераторы , определяемых алгоритмом Ли. Использование любого заданного генератора без аффинных расслоения карта точек Ли симметрий (как определено алгоритмом Ли), то общее решение было построено из решений данного первого порядка системы и скалярного уравнения. Для любого числа зависимых переменных, примеры линейных систем с этими генераторами можно легко найти с помощью решения (4.7) и (4.8), или ограничения , перечисленные в примечании 4.5. Из теоремы 2.2 вытекает практический способ избежать таких систем: гарантировать , что линейное скалярное ОДА второго порядка не могут быть извлечены из (2.1). Это является необходимым , но не достаточным условием для алгоритма Ли вернуть генераторы без аффинных точечных расслоения отображение Ли симметрий, как система и, хх = U, V, XX = 0 показывает.
Если бесконечно малые генераторы легче вычислить, так являются соответствующие группы-инвариантных решений. Бродбридж & Арриго показывают , что путем включения этих решений в рамках генераторов , допускаемых линейных скалярных уравнений, можно получить дополнительные "поколений" групповых-инвариантных решений. В свете теорем 2.1 и 2.2, доказательство этого факта (теоремы 1 в применимо, только с тривиальными изменениями, к системам на имя в данном документе.
Аналогичные результаты для тех , которые обсуждались в этой статье уже доказаны для больших классов нелинейных скалярных уравнений . Например, теорема 4.11 в Heredero & Олвер, утверждает , что thespatial ли точечных симметрий, то есть те , которые не изменяют времени, ФДЭ эволюционного типа являются аффинные отображения расслоения. это ФДЭ , в котором производное , включающее по меньшей мере один раз производная приравнена к дифференциальной функцией только пространственных производных. в § 6, этот результат обобщается поэтому дифференциальная функция также может зависеть от производных по времени, хотя лишь в частном случае одной пространственной переменной.

Результаты (русский) 3:

для систем линейных оды и српо, порядка двух или более, и в виде этот документ устанавливает ковалевской, трудосберегающих ограничения для генераторов определяется алгоритм лжи.использование любой генератор не аффинное комплект карта ложь точки симметрия (которые определяются ложь алгоритм), общее решение было построено из решений данного важнейших системы и скалярной уравнение.для любого количества зависимые переменные, примеры линейной системы с этих генераторов можно найти легко решения (4,7) и (4,8), или ограничений, перечисленных в замечание 4,5.теорема 2.2 предполагает практический способ избежать таких систем: обеспечить, чтобы линейной скалярных второго порядка Ode нельзя извлечь из (2.1).это необходимое, но не достаточное условие ложь алгоритм вернуться генераторов не аффинное комплект карта ложь точки симметрия, как система U, XX - U, V, XX = 0 шоу.если бесконечно генераторы сделаны проще вычислить, так что все соответствующие группы инвариант решений.broadbridge & арриго показать в этом путем включения этих решений в рамках генераторы признался линейной скалярных уравнений, дополнительные "поколения" группа инвариант решений может быть получена.в свете теорем 2.1 и 2.2, подтверждает этот факт (- 1 в применяется лишь несущественные изменения, для систем, рассматриваемых в настоящем документе.аналогичные результаты тем, рассматриваемых в настоящем документе уже доказали, что для крупных классов нелинейных уравнений скаляр.например, теорема 4.11 в heredero & олвер, говорится, что thespatial ложь точки симметрия, т.е. те, которые не меняют время эволюционной типа српо являются аффинное комплект карт.это српо, в котором дериватив в составе по крайней мере один раз производные приравнивается к разнице функции только пространственным деривативов.в пункте 6, такой результат является общей и дифференцированного функция может также зависеть от времени деривативы, хотя только в особых случаях, один пространственной переменной.