Theorem 10.5Each round of algorithm

Theorem 10.5

Each round of algorithm reduce leads to a valid node coloring.
Proof: The new color label of any nonroot node v has two parts: (1) the head H, which is the smallest index j where the bit strings of the current c(v) and c(p(v)) differ, and (2) the tail T, which is the value of bit j of c(v). To prove that the new color labels form a valid coloring, we need to show that either the H- or the T-component of the new c(v) and c(p(v)) is distinct.
Case 1: After one round, H-components of c(v) and c(p(v)) are not identical. This automati- cally leads to a valid coloring.
Case 2: After one round, H-components of c(v) and c(p(v)) are identical. In this case, by definition, the T-components of c(v) and c(p(v)) must be different. ◾

Why does the algorithm allow up to six colors for the nodes? Observe that as long as the size of the current color label |c(v)| is ≥ 6, the new color label will shrink in size, and the program execution will continue to the next round. Once c(v) < 6 holds, the continuation of the program execution will be useless, since it will not reduce the values of c. At this point, there will be three choices for the H-component (0, 1, 2) and two choices for the T-component (0, 1). This leads to a total of six possible colors.
An additional procedure is needed for further reducing the size of the color palette from six to three. It begins with a push down mechanism that preserves the legality of the colors but leads to a configuration where all the children of the same parent have the same color. Thereafter, a simple manipulation of the color labels leads to a valid 3-coloring of the tree. The shift-down operation is as follows:

Результаты (русский) 1:

Теорема 10.5Каждый раунд алгоритма снижения приводит к допустимый узел окраски.Доказательство: Новый цвет этикетки любого nonroot узел v состоит из двух частей: (1) Глава H, который является наименьший индекс j, где битовые строки текущего c(v) и c(p(v)) отличаются, и (2) хвост T, который является значением бит j c(v). Чтобы доказать, что новые цвета этикетки формы действительный окраску, мы должны показать, что H - или T-компонент нового c(v) и c(p(v)) отличается.Случай 1: После одного раунда, H-компоненты c(v) и c(p(v)) не являются идентичными. Это автома-cally приводит к действительным окраску.Случай 2: После одного раунда, H-компоненты c(v) и c(p(v)) идентичны. В этом случае по определению, T-компоненты c(v) и c(p(v)) должны быть разными. ◾Почему алгоритм позволяет до шести цветов для узлов? Обратите внимание, что до тех пор, как размер текущего цвета этикетки | c(v) | ≥ 6, новый ярлык цвета будет уменьшаться в размерах, и выполнение программы будет продолжаться до следующего раунда. После c(v) < 6 держит, продолжение выполнения программы будет бесполезным, поскольку это не приведет к уменьшению значения c. На этом этапе будет три варианта H-компонента (0, 1, 2) и два варианта для T-компонента (0, 1). Это приводит к в общей сложности шесть возможных цветов.Дополнительная процедура необходима для дальнейшего сокращения размера цветовой палитры с шести до трех. Она начинается с push down механизм, который сохраняет законность цветов, но приводит к конфигурации, где все дети того же родителя имеют одного цвета. После этого простой манипуляции меток цвета приводит к действительным 3-Окраска дерева. Операция сдвига является следующим:

Результаты (русский) 2:

Теорема 10.5

Каждый раунд алгоритма снижения приводит к действительному раскраске узла.
Доказательство: Новый цвет этикетки любого некорневой узла V состоит из двух частей: (1) головка H, который является наименьшим индексом J , где битовые строки текущего C (v) и с (р (V)) различаются, и (2) хвост Т, которая является значение бита J с (V). Для того, чтобы доказать , что новые цветовые метки образуют правильный окраску, мы должны показать , что либо Н- или Т-компонент новой C (v) и с (р (v)) отличен.
Случай 1: После того, как один раунд , H-компоненты C (V) и с (р (v)) не являются идентичными. Это автоматически приводит к действительным Раскраска.
Случай 2: После того, как один раунд, H-компоненты C (V) и с (р (v)) идентичны. В этом случае, по определению, Т-компоненты C (V) и с (р (v)) должны быть разными. ◾

Почему алгоритм позволяет до шести цветов для узлов? Заметим , что до тех пор , как размер текущей этикетки цвета | C (V) | составляет ≥ 6, новый цвет этикетки будет уменьшаться в размерах, и выполнение программы будет продолжено в следующий раунд. После того, как с (v) <6 имеет место, продолжение выполнения программы будет бесполезным, так как он не будет уменьшать значения с. В этот момент, будет три варианта Н-компонента (0, 1, 2) и два варианта Т-образного элемента (0, 1). Это приводит к в общей сложности шесть возможных цветов.
Дополнительная процедура необходима для дальнейшего уменьшения размера цветовой палитры от шести до трех. Она начинается с надавите механизма , который сохраняет законность цветов , но приводит к конфигурации , где все дети одного родителя имеют один и тот же цвет. После этого простое манипулирование цветовых меток приводит к действительному 3-раскраски дерева. Операция сдвига вниз выглядит следующим образом :

Результаты (русский) 3:

теорема 10,5каждый раунд алгоритм сокращения приводит к действующего узла колорит.доказательства: новый цвет знака любого nonroot узел V состоит из двух частей: (1) главы H, который является наименьшей индекса j, где немного нити нынешней C (V) и с (P (V)) отличаются, и (2), хвост ", которая является стоимость немного J C (V).доказать, что новый цвет этикетки сформировать правильное колорит, мы должны показать, что либо H - или t-component новый C (V) и с (P (V)) отличается.вариант 1: после первого тура, h-components C (V) и с (P (V)) не являются идентичными.это automati келли приводит к действительным колорит.вариант 2: после первого тура, h-components C (V) и с (P (V)), являются идентичными.в этом случае, по определению, t-components C (V) и с (P (V)) должны быть разными.◾почему алгоритм позволяет до шести цветов для узлов?отмечают, что пока размер текущий цвет знака | C (V) | ≥ 6, новый цвет знака будет сокращаться в размерах, и реализация программы продолжится в следующий раунд.после того, как с (v) < 6 проводит, продолжение реализации программы будет бесполезно, поскольку она не приведет к снижению ценности с. в этот момент, там будет три варианта h-component (0, 1, 2) и два варианта t-component (0: 1).это приводит к шесть возможных цветов.дополнительная процедура необходима для дальнейшего сокращения численности цветовой палитры с шести до трех.она начинается с прячем механизм, который обеспечивает законность цветов, но приводит к конфигурации, где все дети одного родителя имеют тот же цвет.после этого простого манипулирования цвет этикетки приводит к действительным 3-coloring из дерева.переход на операции, является следующим: