It remains to discuss briefly what

It remains to discuss briefly what general requirements may be justly laid down for the solution of a mathematical problem. I should say first of all, this: that it shall be possible to establish the correctness of the solution by means of a finite number of steps based upon a finite number of hypotheses which are implied in the statement of the problem and which must always be exactly formulated. This requirement of logical deduction by means of a finite number of processes is simply the requirement of rigor in reasoning. Indeed the requirement of rigor, which has become proverbial in mathematics, corresponds to a universal philosophical necessity of our understanding; and, on the other hand, only by satisfying this requirement do the thought content and the suggestiveness of the problem attain their full effect. A new problem, especially when it comes from the world of outer experience, is like a young twig, which thrives and bears fruit only when it is grafted carefully and in accordance with strict horticultural rules upon the old stem, the established achievements of our mathematical science.
Besides it is an error to believe that rigor in the proof is the enemy of simplicity. On the contrary we find it confirmed by numerous examples that the rigorous method is at the same time the simpler and the more easily comprehended. The very effort for rigor forces us to find out simpler methods of proof. It also frequently leads the way to methods which are more capable of development than the old methods of less rigor. Thus the theory of algebraic curves experienced a considerable simplification and attained greater unity by means of the more rigorous function-theoretical methods and the consistent introduction of transcendental devices. Further, the proof that the power series permits the application of the four elementary arithmetical operations as well as the term by term differentiation and integration, and the recognition of the utility of the power series depending upon this proof contributed materially to the simplification of all analysis, particularly of the theory of elimination and the theory of differential equations, and also of the existence proofs demanded in those theories. But the most striking example for my statement is the calculus of variations. The treatment of the first and second variations of definite integrals required in part extremely complicated calculations, and the processes applied by the old mathematicians had not the needful rigor. Weierstrass showed us the way to a new and sure foundation of the calculus of variations. By the examples of the simple and double integral I will show briefly, at the close of my lecture, how this way leads at once to a surprising simplification of the calculus of variations. For in the demonstration of the necessary and sufficient criteria for the occurrence of a maximum and minimum, the calculation of the second variation and in part, indeed, the wearisome reasoning connected with the first variation may be completely dispensed with—to say nothing of the advance which is involved in the removal of the restriction to variations for which the differential coefficients of the function vary but slightly.

Результаты (русский) 1:

Предстоит кратко обсудить, какие общие требования могут быть справедливо установлены для решения математической задачи. Должен сказать, прежде всего, это: что она должна обеспечиваться возможность установления правильности решения с помощью конечного числа шагов на основе конечного числа гипотез, которые подразумеваются в заявлении проблемы и которые всегда должны быть точно сформулированы. Это требование логического вывода с помощью конечного числа процессов является просто требование строгости в рассуждениях. Действительно требование строгости, которое стало proverbial в математике, соответствует универсальной философской необходимость нашего понимания; и, с другой стороны, только путем удовлетворения этого требования сделать содержание мысли и многозначительность проблемы достижения их полного эффекта. Новая проблема, особенно когда она исходит от мира внешнего опыта, как молодой веточка, которая процветает и мишек плоды только когда он привитые тщательно и в соответствии со строгими правилами садоводства на старой штока, установленные достижения нашей математической науки.Besides it is an error to believe that rigor in the proof is the enemy of simplicity. On the contrary we find it confirmed by numerous examples that the rigorous method is at the same time the simpler and the more easily comprehended. The very effort for rigor forces us to find out simpler methods of proof. It also frequently leads the way to methods which are more capable of development than the old methods of less rigor. Thus the theory of algebraic curves experienced a considerable simplification and attained greater unity by means of the more rigorous function-theoretical methods and the consistent introduction of transcendental devices. Further, the proof that the power series permits the application of the four elementary arithmetical operations as well as the term by term differentiation and integration, and the recognition of the utility of the power series depending upon this proof contributed materially to the simplification of all analysis, particularly of the theory of elimination and the theory of differential equations, and also of the existence proofs demanded in those theories. But the most striking example for my statement is the calculus of variations. The treatment of the first and second variations of definite integrals required in part extremely complicated calculations, and the processes applied by the old mathematicians had not the needful rigor. Weierstrass showed us the way to a new and sure foundation of the calculus of variations. By the examples of the simple and double integral I will show briefly, at the close of my lecture, how this way leads at once to a surprising simplification of the calculus of variations. For in the demonstration of the necessary and sufficient criteria for the occurrence of a maximum and minimum, the calculation of the second variation and in part, indeed, the wearisome reasoning connected with the first variation may be completely dispensed with—to say nothing of the advance which is involved in the removal of the restriction to variations for which the differential coefficients of the function vary but slightly.

Результаты (русский) 2:

Осталось обсудить кратко , какие общие требования могут быть справедливо установленным для решения математической задачи. Я должен сказать , прежде всего, это: что должна быть предусмотрена возможность установить правильность решения с помощью конечного числа шагов на основе конечного числа гипотез , которые подразумеваются в постановке задачи и которая всегда должна быть точно сформулированы. Это требование логического вывода с помощью конечного числа процессов просто требование строгости рассуждений. Действительно, требование строгости, которая вошла в поговорку в математике, соответствует универсальной философской необходимости нашего понимания; и, с другой стороны, только выполнить это требование сделать содержание мысли и суггестивность проблемы достигают своего полного эффекта. Новая проблема, особенно когда речь идет от мира внешнего опыта, подобно молодой веточке, которая процветает и приносит плоды только тогда , когда она тщательно и в соответствии со строгими садоводческих правил на старом стебле привиты, установленные достижения нашей математической науки. к
тому же это ошибка полагать , что строгость в доказательстве является врагом простоты. Напротив , мы находим , что подтверждается многочисленными примерами , что строгий метод является в то же время более простой и легче воспринимается. Само усилие для строгостью заставляет нас , чтобы выяснить , более простые методы доказательства. Он также часто ведет путь к методам , которые более способны к развитию , чем старые методы меньшей строгостью. Таким образом, теория алгебраических кривых испытал значительное упрощение и достигли большего единства с помощью более строгих функциональных теоретико-методов и последовательного внедрения трансцендентных устройств. Кроме того, доказательство того, что степенной ряд допускает применение четырех элементарных арифметических операций, а также почленно дифференциации и интеграции, а также признание полезности степенного ряда в зависимости от этого доказательства способствовало материально к упрощению всего анализа , в частности , теории ликвидации и теории дифференциальных уравнений, а также о существовании доказательств требовали в этих теориях. Но самый яркий пример для моего утверждения является исчисление вариаций. Лечение первой и второй вариации определенных интегралов , требуемых в части чрезвычайно сложных расчетов, а также процессы , применяемые старых математиков не имел потребное строгость. Вейерштрасс показал нам путь к новому и прочном фундаменте вариационного исчисления. На примерах простой и двойной интеграл я кратко показать, в конце моей лекции, как этот путь ведет сразу к удивительному упрощения вариационного исчисления. Ибо в демонстрации необходимых и достаточных критериев для возникновения максимума и минимума, вычисление второй вариации и частично, на самом деле, изнурительная рассуждения связаны с первым вариантом может быть полностью обойтись без, не говоря уже о продвижения , который участвует в удалении ограничения на изменения , для которых дифференциальные коэффициенты функции изменяются , но незначительно.

Результаты (русский) 3:

он по - прежнему вкратце рассмотреть, какие общие требования могут быть справедливо, изложенные в решении математической проблемы.я должен сказать, во - первых, это: что можно установить правильность решения с помощью ограниченные меры, основанные на конечное число гипотез, которые содержатся в заявлении проблемы и всегда должны быть точно сформулировано.это требование логическая дедукция посредством конечное число процессов является лишь требование о строгости в аргументации.действительно, требование строгости, которая стала известная в математике, соответствует всеобщей философских необходимости нашего понимания; и, с другой стороны, только путем удовлетворения этого требования не думал, содержания и suggestiveness этой проблемы достижения их полного эффекта.новая проблема, особенно, когда речь идет от всемирного космического опытом, как молодой веточку, которая процветает и приносит плоды только в том случае, если она страны тщательно и в соответствии с строгие правила, на старом остановить садоводства, установленных достижений наших математические науки.кроме того, это ошибка, считает, что активность в доказательство враг простотой.напротив, мы найдем это подтверждают многочисленные примеры, что жесткий метод является в то же время проще и легче постичь.очень усилия по строгости, заставляет нас найти более простых методов доказывания.он также часто ведет нас к методам, которые в большей степени способны развития, чем старые методы менее окоченения.таким образом, теорию алгебраическое кривые испытывают значительное упрощение и достичь большего единства посредством более строгого функцию теоретических методов и последовательное внедрение трансцендентальная устройств.кроме того, доказательством того, что власть допускает применение серии из четырех простых арифметических операций, а также срок полномочий дифференциации и интеграции, и признание полезность серии в зависимости от власти, это доказательство внесли существенно для упрощения всех данных, особенно в теории, ликвидации и теории дифференциальных уравнений, и, кроме того, наличие доказательств, потребовали в этих теорий.но наиболее ярким примером для моего выступления - это вариационное исчисление.обращение с первой и второй вариации определение интегралов требуется в части чрезвычайно сложных расчетов, и процедуры, применяемые в старом математики не нужна в строгости.вейерштрасс, показал нам путь к новой и, конечно, основ вариационное исчисление.на примере простой и двойной единой я покажу кратко, в конце своей лекции, как этот путь ведет сразу на удивление об упрощении вариационное исчисление.в демонстрации необходимой и достаточной критерии для случаев максимальным и минимальным, расчет второй вариант и, отчасти, по сути, изнурительного рассуждения связан с первым вариантом может быть полностью снято, не говоря уже о аванс, который участвует в устранении ограничений вариации, для которых перепад коэффициентов функции различны, но незначительно.