A new method for analysing boundary

A new method for analysing boundary-value problems (BVP) for linear and for integrable nonlinear partial differential equations (PDEs) was introduced by the second author in the late Nineties [1–3]. This method, which is usually referred to as the unified transform (or the Fokas transform), has been applied to a variety of linear elliptic PDEs formulated in the interior of a polygon. Important results in this direction include the following: (i) for the Laplace, modified Helmholtz and Helmholtz equations, it is possible to express the solution in terms of integrals in the complex λ-plane (complex Fourier plane). These integrals contain certain integral transforms of the Dirichlet and of the Neumann values on the boundary of the polygon. Hence, these integral formulae provide the analogue of the classical Green's representations, but now the formulation takes place in the complex Fourier plane instead of the physical plane. (ii) The above transforms of the Dirichlet and of the Neumann boundary values are related via two simple algebraic equations called global relations. These relations provide a characterization of the generalized Dirichlet to Neumann map. (iii) By employing the integral representation and global relations mentioned in (i) and (ii), respectively, it has been possible to obtain exact solutions for a variety of problems for which apparently the usual approaches fail, see e.g. [4,5]. (iv) Ashton [6,7] has developed a rigorous approach for deriving well posedness results for linear elliptic PDEs using the new formalism. This includes the analysis of BVPs with distributional data and with corner singularities [8]. (v) The new method can be applied to linear PDEs with nonlinear boundary conditions, see e.g. [9–11]. (vi) The first steps have been taken towards extending the unified transform to three dimensions, see e.g. [9,12].

The analysis of the global relations yields a novel numerical technique for the numerical solution of the generalized Dirichlet to Neumann map, i.e. for the determination of the unknown boundary values in terms of the prescribed boundary data [13–21]. Substantial progress in this direction was made by Fornberg and co-worker [14,15]. The global relations couple the finite Fourier transform of the given boundary data with the finite Fourier transform of the unknown boundary values. For the determination of these boundary values one has to (a) choose appropriate basis functions and (b) suitable collocation points in the Fourier plane. For the numerical computation of the finite Fourier transforms of the basis functions, Fornberg and co-worker have used Legendre polynomials, and have employed the fact that the finite Fourier transform of the Legendre polynomials can be expressed in terms of the modified Bessel function of order half integer. In the above-mentioned papers, the authors have also used the so-called Halton nodes for collocation points, and have used the crucial observation that the conditioning of the associated linear system improves if the linear system is overdetermined. Here, following Fornberg and co-worker, we also use Legendre polynomials and also overdetermine the relevant system. However, motivated by the results of [21], we introduce a new choice of collocation points. In this way, we are able to improve dramatically the relevant condition number. For example, for a particular BVP considered in [15], the condition number improves from approximately 1016 to 4.9.

Результаты (русский) 1:

Новый метод для анализа граничных задач (БВП) для линейных и интегрируемые нелинейных уравнений (СРПО) был представлен второй автор в конце девяностых [1 – 3]. Этот метод, который обычно именуется как единой преобразование (или преобразования Fokas), был применен к различных линейных эллиптических СРПО, сформулированы в интерьере многоугольника. Важные результаты в этом направлении включают в себя следующее: (i) для Лапласа, изменение Гельмгольца и Гельмгольца уравнений, это можно выразить решение с точки зрения интегралов в комплексе λ-плоскости (плоскости комплекс Фурье). Эти интегралы содержат некоторые интегральные преобразования Дирихле и Неймана ценностей на границе многоугольника. Следовательно эти неотъемлемой формулы обеспечивают аналог классического зеленый представлений, но теперь формулировка происходит в плоскости комплекс Фурье вместо физической плоскости. (ii выше преобразования Дирихле и Неймана граничные значения связаны через два простых алгебраических уравнений, называется глобальных отношений. Эти отношения обеспечивают характеристику обобщенных Дирихле Неймана карту. (iii), используя интегральное представление и глобальных отношений, упомянутые в (i) и (ii), соответственно, удалось получить точные решения для различных проблем, для которых видимо обычных подходов неудачу, увидеть например [4,5]. (iv) Эштон [6,7] разработал строгий подход для получения хорошо корректности результатов для линейных эллиптических СРПО, используя новый формализм. Это включает в себя анализ фирма с распределения данных и углу сингулярностей [8]. (v новый метод может быть применен к линейные УРЧП с Нелинейные граничные условия, увидеть например [9-11]. (vi) первые шаги предприняты расширение единой преобразование трех измерениях, увидеть например [9,12].The analysis of the global relations yields a novel numerical technique for the numerical solution of the generalized Dirichlet to Neumann map, i.e. for the determination of the unknown boundary values in terms of the prescribed boundary data [13–21]. Substantial progress in this direction was made by Fornberg and co-worker [14,15]. The global relations couple the finite Fourier transform of the given boundary data with the finite Fourier transform of the unknown boundary values. For the determination of these boundary values one has to (a) choose appropriate basis functions and (b) suitable collocation points in the Fourier plane. For the numerical computation of the finite Fourier transforms of the basis functions, Fornberg and co-worker have used Legendre polynomials, and have employed the fact that the finite Fourier transform of the Legendre polynomials can be expressed in terms of the modified Bessel function of order half integer. In the above-mentioned papers, the authors have also used the so-called Halton nodes for collocation points, and have used the crucial observation that the conditioning of the associated linear system improves if the linear system is overdetermined. Here, following Fornberg and co-worker, we also use Legendre polynomials and also overdetermine the relevant system. However, motivated by the results of [21], we introduce a new choice of collocation points. In this way, we are able to improve dramatically the relevant condition number. For example, for a particular BVP considered in [15], the condition number improves from approximately 1016 to 4.9.

Результаты (русский) 2:

Предложен новый метод анализа краевых задач (БВП) для линейных и интегрируемых нелинейных уравнений с частными производными (ФДЭ) была введена вторым автором в конце девяностых годов [1-3]. Этот метод, который обычно называют унифицированный преобразование (или преобразование Фокас), был применен к различным линейных эллиптических ФДЭ , сформулированных в интерьере многоугольника. Важные результаты в этом направлении включают в себя следующее: (I) для Лапласа, модифицированный Гельмгольцевы и Гельмгольца, можно выразить решение в терминах интегралов в комплексной Х-плоскости (комплексной плоскости Фурье). Эти интегралы содержат определенные интегральные преобразования Дирихле и из значений Неймана на границе многоугольника. Следовательно, эти интегральные формулы обеспечивают аналог классических представлений Грина, но теперь формулировка имеет место в комплексной плоскости Фурье вместо физической плоскости. (II) выше прообразы Дирихле и граничных значений Неймана связаны с помощью двух простых алгебраических уравнений , называемых глобальных отношений. Эти соотношения обеспечивают характеристику обобщенной Дирихле на карте Неймана. (III) Используя интегральное представление и глобальных отношений , указанных в (I) и (II), соответственно, оказалось возможным получить точные решения для различных задач , для которых по- видимому обычные подходы были безуспешными, смотри , например , [4,5 ]. (IV) Ashton [6,7] разработал строгий подход для получения хорошо Корректность результатов для линейных эллиптических уравнений в частных производных с использованием нового формализма. Это включает в себя анализ с КЗ дистрибутивных данных и с угловыми особенностями [8]. (v) Новый метод может быть применен к линейным ФДЭ с нелинейными граничными условиями, см , например , [9-11]. (VI) Первые шаги были предприняты в направлении , расширяющий унифицированы преобразования в трех измерениях, см , например , [9,12]. Анализ глобальных отношений дает новый численный метод для численного решения обобщенной Дирихле на карте Неймана, т.е. для определения неизвестных граничных значений в терминах заданных граничных данных [13-21]. Существенный прогресс в этом направлении был сделан Fornberg и напарницы [14,15]. Пара глобальных отношений преобразование Фурье конечных заданных граничных данных с конечным преобразованием Фурье неизвестных граничных значений. Для определения этих граничных значений приходится (а) выбрать соответствующие базисные функции и (б) подходящие точки коллокации в плоскости Фурье. Для численного вычисления конечных преобразований Фурье базисных функций, Fornberg и КОЛЛЕГА использовали полиномы Лежандра, и использовали тот факт , что конечное преобразование Фурье полиномов Лежандра могут быть выражены в терминах модифицированной функции Бесселя порядка полуцелое. В указанных выше работах авторы также использовали так называемые узлы Хальтон для точек коллокации, и использовали существенное наблюдение , что обусловленность соответствующей линейной системы улучшается , если линейная система переопределена. Здесь, следуя Fornberg и КОЛЛЕГЕ, мы также используем полиномы Лежандра , а также overdetermine соответствующую систему. Тем не менее, руководствуясь результатами [21], мы вводим новый выбор точек коллокации. Таким образом, мы можем значительно улучшить состояние соответствующего числа. Например, для конкретного ГЗ рассмотрены в работе [15], то условие число улучшается от приблизительно 1016 до 4,9.

Результаты (русский) 3:

новый метод анализа краевая проблем (ввп) литвы для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений интегрируемых (српо) был представлен второй автор в конце 90 - х годов [1 - 3].этот метод, который обычно называют единой преобразования (или fokas преобразования), применяется в различных линейных эллиптических српо сформулирована во внутренних районах многоугольник.важные результаты в этом направлении включают в себя следующее: (i) для лапласа, изменения и гельмгольца гельмгольца уравнений, можно выразить решения с точки зрения интегралов в сложных λ - самолет (сложные преобразования фурье самолет).эти интегралов содержат определенные единой трансформируется из дирихле и неймана ценностей на границе полигона.таким образом, эти единой формулы представлять аналог классической грин представлений, но теперь разработка проходит в сложных фурье самолет вместо физического плана.ii) выше трансформируется из дирихле и неймана границы значений связаны через два простых уравнений алгебраизма глобальных отношений.эти отношения являются квалификация всеобщей дирихле для нейман карту.iii) с использованием единой представительства и глобальных отношений, упомянутые в i) и ii), соответственно, удалось получить точные решения по ряду проблем, на которые, по - видимому, обычные методы не см., например, [4,5].iv) эштон [6,7] разработала жесткий подход для определения результатов и posedness для линейных эллиптических српо с использованием нового формализма.это включает в себя анализ распределения данных и с bvps с углом сингулярностей [8].v) новый метод может применяться к линейной српо с нелинейными граничные условия, см., например, [9 - 11].vi) были предприняты первые шаги в направлении расширения единого превратить в трех измерениях, см., например, [9,12].анализ глобальных отношений урожайность роман цифровым методом численное решение всеобщей дирихле для нейман карты, т.е. для определения неизвестный границы ценности с точки зрения установленные границы данных [13 - 21].существенный прогресс в этом направлении выступил fornberg и коллега [14,15].глобальных отношений пара конечных фурье данного границы данные с ограниченными фурье неизвестного границы значений.для определения этих пограничных значений следует a) выбрать подходящую основу функций и b) подходящие словосочетания пунктов в фурье самолет.для числовых расчет конечных преобразований фурье на основе функций, fornberg и коллеги использовали многочлены лежандра, и использовали то, что конечный фурье из многочлены лежандра могут быть выражены в виде модифицированные функции бесселя порядка половины целое.в вышеупомянутых документов, авторы также используются так называемые хальтон узлов для словосочетания очков, и использовали важное замечание о том, что подготовка соответствующего линейная система улучшает если линейная система переопределённая.здесь после fornberg и коллега, мы также используем многочлены лежандра, а также overdetermine соответствующие системы.однако, с учетом результатов [21], мы ввели новую выбор словосочетания очков.таким образом, мы способны резко активизировать соответствующие условия.например, в частности bvp рассмотрел в [15], состояние улучшается от ряда около 1016 4,9.