In symbolic dynamics one begins wit

In symbolic dynamics one begins with a set of symbols and considers
spaces consisting of sequences of these symbols that are closed under the
shift map. There are two approaches that are used: one-sided shift spaces
that use sequences of symbols indexed by N, and two-sided shift spaces that
use bi-infinite sequences indexed by Z. In this paper, we shall be concerned
exclusively with one-sided shifts.
In the classical construction of a one-sided shift space, one begins with a
finite set A (called the alphabet or symbol space) and then considers the set
A
N
:= A × A × · · ·
consisting of all sequences of elements of A. If we give A the discrete topology,
then A is compact (since A is finite), and Tychonoff’s theorem implies
that AN with the product topology is also compact. In addition, the shift
map σ : AN → AN defined by σ(x1x2x3 . . .) := x2x3x4 . . . is continuous.
The pair (AN, σ) is called the (one-sided) full shift space, and a shift space is
defined to be a pair (X, σ|X) where X is subset of AN such that X is closed
and σ(X) ⊆ X. Since X is a closed subset of a compact space, X is also
compact. In the analysis of shift spaces the compactness plays an essential
role, and many fundamental results rely on this property.
Attempts to develop a theory of shift spaces when the alphabet A is
infinite (even countably infinite) have often been stymied by the fact that the
spaces considered are no longer compact — and worse yet, not even locally
compact. For instance, if one takes a countably infinite set A = {a1, a2, . . .},
one can give A the discrete topology and consider the space
A
N
:= A × A × · · ·
with the product topology. In this situation, the shift map σ : AN → AN
defined by σ(x1x2x3 . . .) := x2x3x4 . . . is continuous. However, the space AN
is no longer compact or even locally compact. For example, any open set U
in AN must contain a basis element of the form
Z(x1 . . . xm) = n
x1 . . . xmzm+1zm+2 . . . ∈ AN
: zk ∈ A for k ≥ m + 1o
,
and if we define x
n
:= x1 . . . xmananan . . ., then {x
n}∞
n=1 is a sequence in
Z(x1 . . . xm) without a convergent subsequence. Hence the closure of U is
not (sequentially) compact, and AN is not locally compact. Therefore, if we
define a shift space over A to be a pair (X, σ|X) where X is a closed subset
of AN with the property that σ(X) ⊆ X, then the set X will be a closed, but
not necessarily compact, subset of AN. This lack of compactness makes it
difficult to establish results for such subspaces, and as a result this approach
to shift spaces over countable alphabets has encountered difficulties.
The purpose of this paper is to give a new definition for the (one-sided)
full shift and its subshifts when the alphabet A is infinite. In this new
definition the full shift and all shift spaces are compact, and this will allow
4 WILLIAM OTT, MARK TOMFORDE AND PAULETTE N. WILLIS
techniques from the classical theory of shifts over finite alphabets to be more
readily generalized to this setting. It is our hope that this new definition
will allow for applications to dynamics that are unavailable using current
methods. Furthermore, our new definition reduces to the classical definition
when A is finite.
The key idea of our new definition of the full shift is to begin with an
infinite alphabet A that we endow with the discrete topology. We then let
A∞ = A ∪ {∞} denote the one-point compactification of A. Since A∞ is
compact, the product space
XA := A∞ × A∞ × · · ·
is compact. However, we do not want to take XA as our definition of the full
shift, since it includes sequences that contain the symbol ∞, which is not in
our original alphabet. Therefore, we shall consider an identification of elements
of XA with infinite and finite sequences of elements in A. Specifically,
we do the following: If x = x1x2 . . . ∈ XA has the property that xi 6= ∞ for
all i ∈ N, then we do nothing and simply consider this as an infinite sequence
of elements of A. If x = x1x2 . . . ∈ XA has an ∞ occurring, we consider the
first place that such an ∞ appears; for example, write x = x1 . . . xn∞. . .
with xi 6= ∞ for 1 ≤ i ≤ n and identify x with the finite sequence x1 . . . xn.
In this way we define an equivalence relation ∼ on XA such that the quotient
space XA/ ∼ of all equivalence classes is identified with the collection of all
sequences of symbols from A that are either infinite or finite (details of this
equivalence relation are described in Section 2.1). We let ΣA denote the
set of all finite and infinite sequences of elements of A, and using the identification
of ΣA with XA/ ∼, we give ΣA the quotient topology it inherits
from XA. While quotient topologies are in general not well behaved, we can
prove that with this topology the space ΣA is both compact and Hausdorff.
Moreover, the shift map σ : ΣA → ΣA, which simply removes the first entry
from any sequence, is a map on ΣA that is continuous at all points except

Результаты (русский) 1:

В символической динамики один начинается с набора символов и считаетзапрещено, состоящий из последовательности эти символы, которые являются закрытыми подсдвиг карта. Существует два подхода, которые используются: one-sided сдвиг запрещенокоторые используют последовательности символов проиндексирован N, и двусторонний сдвиг запрещеноИспользуйте Би бесконечные последовательности, индексированных по Z. В этом документе мы должны быть обеспокоены темисключительно с односторонней смены.В классической конструкции пространства one-sided сдвига, начинается сконечное значение A (так называемый алфавит или символ пространства) и затем рассматривает наборAN:= A × A × · · ·состоит из всех последовательностей элементов а. Если мы даем A дискретная топология,Тогда A компактный (так как A конечных) и тихоновских Теорема предполагаетчто с топологией продукта также является компактным. Кроме того, сдвигКарта σ: → определяется σ(x1x2x3...): = x2x3x4... является непрерывным.Пара (, σ), называется пространство (односторонний) полный сдвиг и сдвиг местаопределено как пару (X, σ| X) где X — это подмножество такие что X закрыти σ(X) ⊆ X. Поскольку X является подмножеством закрытой компактном пространстве, X — такжекомпактный. В анализе сдвига запрещено компактность играет важнуюроль и многие фундаментальные результаты полагаться на это свойство.Попытки разработать теорию сдвиг пространств, когда алфавита Aбесконечные (даже счетно бесконечное) часто препятствует тот факт, чтозапрещено рассматривать больше не компактный — и хуже, пока, не даже локальнокомпактный. Например, если одно принимает счетно бесконечное значение = {А1, А2,...},можно дать A дискретная топология и рассмотреть пространствоAN:= A × A × · · ·с топологией продукта. В этой ситуации переход карта σ: →определяется σ(x1x2x3...): = x2x3x4... является непрерывным. Однако пространствобольше не является компактный или даже локально компактных. Например любой открытый набор Uв должен содержать основы элемент формыZ (x1... xm) = nx1... xmzm + 1zm, + 2... ∈: zk ∈ A k ≥ m + 1o,и если мы определяем xn: = x1... xmananan..., потом {x∞ n}n = 1 представляет собой последовательность вZ (x1... xm) без конвергентных самой длинной общей подпоследовательности. Следовательно, закрытие Uне (последовательно) компактный, и не является локально компактным. Поэтому если мыОпределите сдвиг пространство над A быть пару (X, σ| X), где X является подмножеством закрытоес помощью свойства что σ(X) ⊆ X, затем набор X будет закрытым, ноне обязательно компактный, подмножество. Это отсутствие компактность делает еготрудно установить результаты для таких подпространств и в результате этот подходперенести пространства над countable алфавитов столкнулась с трудностями.Целью этого документа является дать новое определение (односторонний)полный сдвиг и его subshifts когда алфавита A является бесконечным. В этой новойОпределение полного сдвиг и сдвиг запрещено компактный, и это позволит4 УИЛЬЯМ ОТТ, МАРК TOMFORDE И ПОЛЕТТ N. УИЛЛИСметоды от классической теории сдвигов за конечное алфавитов, чтобы быть болеелегко обобщается на этот параметр. Мы надеемся, что это новое определениепозволит для приложений для динамики, которые недоступны с помощью текущегометоды. Кроме того наше новое определение уменьшает классическое определениеКогда A конечна.Основная идея нашего нового определения полного перехода является с самого началабесконечные алфавит, который мы наделить дискретной топологией. Мы тогда пустьA∞ = A ∪ {∞} обозначают один Пойнт компактификация A. Так как A∞Компактный, пространство продуктаXA := A∞ × A∞ × · · ·Это компактный. Однако мы не хотим считать наше определение полный XAсдвиг, поскольку она включает в себя последовательности, которые содержат ∞ символ, который не вНаш первоначальный алфавит. Таким образом мы будем рассматривать определение элементовиз XA с бесконечных и конечных последовательностей элементов в а. в частности,Мы делаем следующее: если x = x1 x 2... ∈ XA имеет свойство что xi 6 = ∞ длявсе я ∈ N, то мы ничего не делать и просто рассматривать это как бесконечную последовательностьэлементов, а. Если x = x1 x 2... ∈ XA имеет ∞ происходит, мы считаемпервое место, которое появляется такой ∞; Например, писать x = x1... xn∞...с xi 6 = ∞ 1 ≤ я ≤ n и определить x с конечной последовательности x1... xn.Таким образом мы определяем отношение эквивалентности ∼ на XA что коэффициентпространство XA / ∼ всех классов эквивалентности определяется с коллекцией всехпоследовательности символов, являются бесконечные или конечных (подробности об этомОтношение эквивалентности описаны в разделе 2.1). Мы Пусть ΣA обозначениянабор всех конечных и бесконечных последовательностей элементов A и с использованием идентификациииз ΣA с XA / ∼, мы даем ΣA частное топологии, он наследуетот XA. В то время как коэффициент топологии являются в целом не хорошо вели себя, мы можемдоказать, что с этой топологии, ΣA пространство как компактный и Хаусдорфа.Кроме того, переход карта σ: ΣA → ΣA, который просто удаляет первый элементот любой последовательности является карта на ΣA, которая непрерывна на всех точек, за исключением

Результаты (русский) 2:

В символической динамики одна начинается с набором символов и рассматривает
пространства , состоящие из последовательностей этих символов, которые закрыты под
картой сдвига. Есть два подхода, которые используются: односторонние сдвига пространства ,
которые используют последовательности символов проиндексированных N и двустороннего сдвига пространства , которые
используют би-бесконечных последовательностей , индексированных Z. В этой статье мы будем иметь дело
исключительно с одно- сторонний сдвиги.
В классической конструкции одностороннего сдвига пространстве, начинается с
конечного множества а ( так называемый алфавит или символ пробела) , а затем рассматривает множество N : = A × A × · · · состоящее из всех последовательностей элементов A. Если мы дадим дискретную топологию, то а компактно (так как а конечна), и теорема Тихонова вытекает , что с топологией произведения также компактно. Кроме того, сдвиг отображение σ: (... X1x2x3) А. → An определяется a: = x2x3x4. , , . непрерывна Пара (AN, σ) называется (односторонний) полный сдвиг пространства, а сдвиг пространства определяется как пара (X, σ | X) , где Х представляет собой подмножество такое , что X замкнуто и σ (X) ⊆ X. Так как X есть замкнутое подмножество компактного пространства, X также компактно. При анализе сдвига пространств компактность играет существенную роль, и многие фундаментальные результаты зависят от этого свойства. Попытки разработать теорию сдвига пространств , когда алфавит А бесконечно (даже счетное) часто загнаны в тот факт , что не рассматриваемые пространства больше не компактно - и , что еще хуже, даже не локально компактно. Например, если взять счетно бесконечное множество А = {а1, а2,. , .}, Можно дать дискретную топологию и рассмотрим пространство A N : = A × A × · · · с топологией произведения. В этой ситуации отображение сдвига σ: AN → An (... X1x2x3) определяется а: = x2x3x4. , , непрерывен. Тем не менее, пространство А больше не компактно или даже локально компактно. Например, любое открытое множество U в AN должна содержать базис элемент вида Z (x1... Хт) = N x1. , , xmzm + 1zm + 2. , , ∈ An : гк ∈ A для к ^ т + 1о , и если мы определим х п : = x1. , , xmananan. , ., То {х п} ∞ n = 1 представляет собой последовательность в Z (x1... Хт) без сходящейся подпоследовательности. Следовательно , замыкание U является не (последовательно) компактно, и АН не локально компактно. Поэтому, если мы определим сдвиг пространства над , чтобы быть парой (X, σ | X) , где X представляет собой замкнутое подмножество из AN со свойством , что σ (X) ⊆ X, то множество X будет замкнутым, но не обязательно компактное, подмножество. Это отсутствие компактности делает трудно установить результаты для таких подпространств, и в результате этот подход перенести пространства над счетных алфавитов сталкивается с трудностями. Целью данной статьи является дать новое определение для (односторонний) полный сдвиг и его subshifts , когда алфавит а бесконечно. В этом новом определении полного сдвига и сдвига все пространства компактны, и это позволит 4 УИЛЬЯМ OTT, MARK TOMFORDE И Полетт Н. Willis методы из классической теории сдвигов над конечными алфавитами , чтобы быть более легко обобщаются на этой установке. Мы надеемся , что это новое определение позволит приложениям к динамике, которые недоступны с использованием текущих методов. Кроме того, наше новое определение сводится к классическому определению , когда А конечно. Основная идея нашего нового определения полного сдвига , чтобы начать с бесконечным алфавитом А , что мы наделяем дискретной топологией. Тогда пусть Аоо = A ∪ {∞} обозначим одну точку компактификацию А. Так как A∞ является компактным, продукт пространство ХА: = A∞ × A∞ × · · · компактно. Тем не менее, мы не хотим , чтобы принять XA как наше определение полного сдвига, так как она включает в себя последовательности , которые содержат символ ∞, которая не находится в нашем оригинальном алфавите. Поэтому мы будем рассматривать идентификацию элементов ХА с бесконечными и конечных последовательностей элементов в А. В частности, мы следующее: Если х = x1x2. , , ∈ XA обладает тем свойством , что Xi 6 = ∞ для всех ∈ N, то мы ничего не делаем , а просто рассматривать это как бесконечную последовательность элементов A. Если х = x1x2. , , ∈ XA имеет ∞ происходит, мы рассмотрим первое место , которое появляется такое ∞; например, написать х = x1. , , xn∞. , . С XI 6 = ∞ для 1 ≤ ≤ п и определить х с конечной последовательности x1. , , х. Таким образом , мы определим отношение эквивалентности ~ на ХА, что фактор - пространство XA / ~ всех классов эквивалентности отождествляется с совокупностью всех последовательностей символов из А, либо бесконечные или конечные (подробности этого отношения эквивалентности являются описано в разделе 2.1). Обозначим через ΣA обозначим множество всех конечных и бесконечных последовательностей элементов из А, и с помощью идентификации по ΣA с XA / ~, мы даем ΣA фактор - топологию наследуемый от XA. В то время как фактор - топологии в целом не очень хорошо себя вели, мы можем доказать , что с этой топологией пространство ΣA является одновременно компактным и Хаусдорфа. Кроме того, отображение сдвига σ: ΣA → ΣA, которая просто удаляет первую запись из любой последовательности, является отображением на ΣA, непрерывная во всех точках , кроме