This paper is concerned with the un

This paper is concerned with the unconstrained case; we consider a domain that is formally large compared with the pattern wavelength and so may be modulated over large scales. Computations in the constrained case have been carried out by Cox (1996) and Prat et al.(2002); although the normal form for the spatial resonance is identical, in this case, the effect of a large horizontal domain would be to allow patterns to evolve into structures on entirely different scales and the mode interaction at wavenumber kc would no longer play a central role in organizing the long-time dynamics. However, mode interactions in the unconstrained case arise naturally in many physical problems; for example, the two-layer thermal convection problem discussed in Proctor & Jones (1988) and the multiple instabilities of mushy layers near a solid–liquid interface in solidification problems (see fig. 5 of Worster 1997). The coincidence of the minima of the curves in figure 1a at the same value μ=μc implies that this is a codimension-two bifurcation point. The further requirement that the wavenumber ratio is exactly 1 : 2 or 1 : 3 demands, generically, that a third independent parameter must also be varied to observe this bifurcation; a strong spatial resonance is therefore mathematically a codimension-three bifurcation point.
In this paper we have discussed new instabilities that arise when modulational terms are introduced into the normal forms for the 1 : 2 and 1 : 3 spatial resonances. Over long length scales the spatially periodic equilibrium and travelling wave states may be destabilized in ways that cannot occur in the absence of strong spatial resonance, and which arise only when the coefficients of the second derivative terms differ sufficiently from each other. These new Turing-like instabilities are therefore additional and novel features of these codimension-three bifurcation problems.
We have shown that mixed-mode equilibria may be unstable separately to either ‘amplitude modes’ or ‘phase modes’ of instability. For travelling waves, it appears that this clear distinction cannot be made, but similar instabilities certainly occur. We remark that the use of asymptotic analysis and Ginzburg–Landau-type modelling loses some fine detail that would arise in experimental work, or in direct numerical simulations, for example the locking of fronts to the phase of the underlying periodic pattern.
Also, we have shown that, as is well known in problems of this type, the occurrence of Turing instabilities is linked to the existence of spatially uniform oscillatory instabilities. For the mixed-mode equilibrium, the corresponding spatially uniform instability is the generation of standing wave amplitude oscillations. For the travelling waves, the Turing instability is linked to the generation of spatially uniform so-called modulated waves.

Результаты (русский) 1:

Эта статья посвящена непринужденно дела; Мы считаем, домен, который формально большой по сравнению с длиной волны шаблон и поэтому может модулировать на больших масштабах. Кокс (1996 год) и Прат были проведены расчеты в случае ограниченного et al.(2002); Хотя нормальная форма для пространственный резонанс идентичны, в этом случае эффект больших горизонтальных домена было бы разрешить шаблоны превратиться в структуры на совершенно разных масштабах и режим взаимодействия в волновое kc больше не будет играть центральную роль в Организации давно динамику. Однако режим взаимодействия в случае неограниченного естественно возникают во многих физических задачах; например два слоя тепловой конвекции проблема обсуждается в Proctor & Джонс (1988) и несколько неустойчивостей мягкий слоев вблизи интерфейс твердое вещество жидкость в кристаллизации проблемы (см. рис. 5 Worster 1997). Совпадение минимумы кривых на рисунке 1a на же значение μ = μc подразумевает, что это точка бифуркации коразмерности два. Еще одно требование, что соотношение волновое точно 1: 2 или 1: 3 требования, родово, что третьего независимого параметра также должны быть различны наблюдать за этой бифуркации; сильный пространственный резонанс является таким образом математически точка бифуркации коразмерности три.В этой статье мы обсуждали новые нестабильности, которые возникают, когда modulational термины вводятся в нормальных форм для 1: 2 и 1: 3 пространственных резонансов. Более длинные длина шкалы пространственно периодических равновесия и бегущей волны, которые государства могут быть дестабилизировали способами, что не может произойти в отсутствие сильного пространственный резонанс, и которые возникают только тогда, когда коэффициенты второй производной термины отличаются достаточно друг от друга. Эти новые Тьюринга как нестабильность являются поэтому дополнительных и новых особенностей этих проблем коразмерности три бифуркации.Мы показали, что равновесий в смешанном режиме может быть нестабильной отдельно для «амплитуды режимы» или «фазы режимы» нестабильности. Для путешествия волны, похоже, что это не может быть четкое различие, но безусловно происходят аналогичные нестабильность. Мы отмечают, что использование асимптотический анализ и моделирование Гинзбурга-Ландау тип теряет некоторые мелкие детали, которая возникнет в экспериментальной работы, или прямой численного моделирования, например блокировки фронтов к этапу периодические структуры базовой.Кроме того мы показали, что, как это хорошо известно в проблемы этого типа, возникновение Тьюринга нестабильность связана с существование пространственно единообразных колебательной неустойчивости. Для смешанного режима равновесия соответствующий пространственно единообразных нестабильность это поколение стоячей волны амплитуда колебаний. Для путешествующих волн Тьюринга нестабильность связана с поколения пространственно форма так называемого модулированного волн.

Результаты (русский) 2:

Эта статья касается неограниченного случая; мы рассмотрим домен , который формально велик по сравнению с длиной волны узором , и поэтому могут быть модулируется на больших масштабах. Расчеты в стесненных случае были проведены Кокса (1996) и Prat и др (2002). хотя нормальная форма для пространственного резонанса одинакова, в этом случае, эффект большой горизонтальной области было бы , чтобы позволить модели эволюционировать в структурах на совершенно разных масштабах и взаимодействия мод в волновом кс больше не будет играть центральную роль в организации динамики давнее. Тем не менее, режим взаимодействия в случае неограниченной естественно возникают во многих физических проблем; например, двухслойный тепловая задача конвекции обсуждалась в Proctor & Jones (1988) и многочисленных нестабильностей кашицеобразного слоев вблизи интерфейса твердое тело-жидкость в задачах кристаллизации (см. 5 из Worster 1997). Совпадение минимумов кривых на рисунке 1а при том же значении μ = Мс следует , что это Коразмерность две точки бифуркации. Дальнейшее требование, чтобы отношение волновых чисел ровно 1: 2 или 1: 3 требует, в общем, что третий независимый параметр также должен быть изменен , чтобы наблюдать это разветвление; сильный пространственный резонанс поэтому математически Коразмерность три точки бифуркации.
В этой статье мы рассмотрели новые нестабильностей , которые возникают , когда модуляционные термины вводятся в нормальные формы для 1: 2 и 1: 3 пространственных резонансов. Более длинные длины шкалы пространственно - периодического равновесия и бегущей волны состояния могут быть дестабилизирована таким образом , что не может произойти в отсутствие сильного пространственного резонанса, и которые возникают только тогда , когда коэффициенты второго слагаемых производных существенно отличаются друг от друга. Таким образом , эти новые Тюрингу как нестабильностей дополнительные и новые признаки этих Коразмерность-трех задачах бифуркации.
Мы показали , что смешанного режима равновесия может быть неустойчивым по отдельности либо «амплитуды мод» или «фаз мод» неустойчивости. Для бегущих волн, оказывается , что это четкое различие не может быть сделано, но подобные нестабильностей , конечно , происходят. Заметим , что использование асимптотического анализа и моделирования Гинзбурга-Ландау-типа теряет некоторые мелкие детали , которые могут возникнуть в экспериментальной работе, или в прямом численном моделировании, например , блокировку фронтов к фазе основной периодической структуры.
Кроме того , мы показали , что, как хорошо известно в задачах такого типа, возникновение неустойчивостей Тьюринга связан с существованием пространственно однородных колебательные нестабильностей. Для смешанного режима равновесия, соответствующая пространственно однородной неустойчивости является генерация стоячей волны амплитуды колебаний. Для бегущих волн, неустойчивость Тьюринга связан с генерацией пространственно однородных так называемых модулированных волн.