Theorem 10.1Program (D + 1) colorin

Theorem 10.1

Program (D + 1) coloring produces a correct coloring of the nodes.
Proof: Each action by a node correctly sets its color with respect to those of its neighbors. Once a node correctly sets its color, its guard is never enabled by the action of a neighboring node. So regardless of the initial colors of the nodes, each node executes its action at most once, and the algorithm requires at most (n − 1) steps to terminate. ◾
The size of the color palette used in the (D + 1)-coloring algorithm may be far from optimal. For example, consider a star graph where (n − 1) nodes are connected to a single node that acts as the hub and n = 100. The (D + 1)-coloring algorithm will use 100 distinct colors, whereas the graph can be colored using two colors only! Converting the graph into a dag (directed acyclic graph) helps reduce the size of the color palette. In the transformed dag, let succ(i) = {j: (i, j) ∈ E} denote the successors of node i. Also, let sc(i) = {c(j): j ∈ succ(i)} and the size of the color palette C exceed |maxi (succ(i))|. Then, the following is an adaptation of the (D + 1)-coloring algorithm for a dag:

Результаты (русский) 1:

Теорема 10.1Программа (D + 1) окраска производит правильную окраску узлов.Доказательство: Каждое действие узел правильно устанавливает цвет в отношении тех из своих соседей. После того, как узел правильно устанавливает цвет, его охранник никогда не включена под действием соседнего узла. Таким образом вне зависимости от первоначального цвета узлов, каждый узел выполняет свои действия более одного раза, и алгоритм требует в большинстве (n − 1) шаги для завершения. ◾Размер цветовой палитры, используемые в (D + 1)-окраски алгоритм может быть далека от оптимальной. Например, рассмотрим звезды граф где (n − 1) узлы подключены к единичному узлу, который выступает в качестве концентратора и n = 100. (D + 1)-алгоритм окраски будет использовать 100 различных цветов, в то время как граф можно окрасить, используя только два цвета! Преобразование диаграммы в dag (направленный ациклический граф) помогает уменьшить размер цветовой палитры. В преобразованной группы доступности базы данных, пусть succ(i) = {Жанин (i, j) ∈ E} обозначают потомков узла я. Кроме того, пусть sc(i) = {c(j): j ∈ succ(i)} и превышает размер цветовой палитры C | макси (succ(i)) |. Затем, ниже является адаптация (D + 1)-окраски алгоритм для группы доступности базы данных:

Результаты (русский) 2:

Теорема 10.1

Программа (D + 1) окраска дает правильную окраску узлов.
Доказательство: Каждое действие узлом правильно устанавливает свой цвет в отношении ее соседей. После того, как узел правильно устанавливает его цвет, его охранник никогда не включается действием соседнего узла. Таким образом , независимо от исходных цветов узлов, каждый узел выполняет свои действия не более одного раза, и алгоритм требует не более (п - 1) шаги для завершения. ◾
Размер цветовой палитры , используемой в алгоритме -раскраска (D + 1) может быть далека от оптимальной. Например, рассмотрим звездный граф , где (п - 1) узлы подключены к одному узлу , который действует в качестве концентратора и п = 100. (D + 1) -раскраска алгоритм будет использовать 100 различных цветов, в то время как граф может быть цветные используя только два цвета! Преобразование графа в DAG (ориентированный ациклический граф) помогает уменьшить размер цветовой палитры. В преобразованной даг, пусть Succ (I) = {j: (I, J) ∈ E} обозначим преемников узла я. Кроме того , пусть SC (I) = {С (J): J ∈ Succ (I)} и размер цветовой палитры C превосходит | макси (Succ (I)) |. Тогда следующее является адаптация (D + 1) -раскраска алгоритма для DAG: